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XIV Semana del IICO 2015 c Concurso de Ensenanza e investigacion 2015
´ DE TRAYECTORIAS EN TERAPIA DE CARACTERIZACION ´ PARA SUJETOS DE CONTROL REHABILITACION
´ ´I∗ R. DE LEON-LOMEL Facultad de Ingenier´ıa, Universidad Aut´ onoma de San Luis Potos´ı (UASLP) ´ Alvaro Obreg´ on 64, 78000 San Luis Potos´ı, S.L.P., M´ exico roxy
[email protected] J. S. MURGU´IA Facultad de Ciencias, Universidad Aut´ onoma de San Luis Potos´ı ´ Alvaro Obreg´ on 64, 78000 San Luis Potos´ı, S.L.P., M´ exico
[email protected] ´ ´ E. GONZALEZ-GALV AN Facultad de Ingenier´ıa, Universidad Aut´ onoma de San Luis Potos´ı (UASLP) ´ Alvaro Obreg´ on 64, 78000 San Luis Potos´ı, S.L.P., M´ exico
[email protected]
La discapacidad motora cong´ enita o adquirida, es un padecimiento presente en un alto porcentaje de la poblaci´ on, que usualmente es tratada mediante procesos de fisioterapia y terapia ocupacional. Para medir el grado de discapacidad de un paciente se emplean diferentes escalas que, dan un valor estimado mediante cuestionarios y pruebas f´ısicas. Sin embargo, esta valoraci´ on tiende a ser subjetiva, ya que no es capaz de medir el nivel de avance que se logra con cada sesi´ on, como resultado en muchos casos se genera des´ animo y deserci´ on de los pacientes a las sesiones de terapia. Como alternativa, se sugiere caracterizar las se˜ nales provenientes del movimiento de las extremidades durante las sesiones de terapia, para tener un control mas cuantitativo del grado de avance del paciente durante el proceso de rehabilitaci´ on. En el presente trabajo, se presenta un primer an´ alisis a las se˜ nales de trayectorias seguidas durante un proceso de terapia previamente propuesto. Para analizar las series temporales de los sujetos de control se emplea la t´ ecnica de an´ alisis de fluctuaciones sin tendencia o DFA, as´ı como transformada discreta wavelet. Keywords: DFA; DWT; fisioterapia. PACS numbers.: 05.40.-a., 05.45.-a., 05.45.Df, 05.45.Tp, 07.05.Pj
1. Introducci´ on La discapacidad motriz es un problema de salud p´ ublica que afecta a la poblaci´on sin importar edad o condici´on social, pudiendo ser cong´enita o adquirida. La rehabilitaci´ on de los pacientes es vital para su reincorporaci´ on a la vida laboral y en muchas ∗ Corresponding
author 1
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ocasiones a los roles sociales. Una opci´on de rehabilitaci´ on es mediante terapia ocupacional. La evaluaci´on de terapia ocupacional es un conjunto de procedimientos y un proceso de pensamiento, que es cap´az de intervenir con la poblaci´on infantil a trav´es del juego, cuando un ni˜ no presenta alg´ un tipo de discapacidad los juegos que se utilizan en la atenci´ on terap´eutica presentan caracter´ısticas relacionadas con la propia discapacidad.1 En el Centro de Rehabilitaci´ on y Educaci´on Especial de San Luis Potos´ı (CREE) se brinda terapia ocupacional a ni˜ nos que requieren alg´ un tipo de rehabilitaci´ on, ya sea por enfermedades cong´enitas o adquiridas. En este centro se aplican juegos l´ udicos y did´ acticos para incentivar el movimiento y capacidades cognitivas, que permitan un avance en su motricidad, razonamiento y sociabilidad. El grado de discapacidad de cada paciente se establece de acuerdo a las escalas Test de Lovett (Tabla 1) y el ´ Indice de Barthel (Tabla2)2 . Estas escalas se basan en la independencia de los pacientes para llevar a cabo actividades diarias como en el tipo de movimiento que se realiza con las extremidades. Sin embargo estas escalas tienden a ser subjetivas. Table 1. ´Indice de valoraci´ on de discapacidad de Lovett.
0 1 2 3 4 5
Evaluaci´ on muscular test de Lovett Ausencia de contracci´ on (Par´ alisis) Contracci´ on visible o palpable Movimiento activo en todo el arco de movimiento s/gravedad Movimiento activo en todo el arco de movimiento contra gravedad Repeticiones Movimiento activo completo contra gravedad y resistencia 15 repeticiones Movimiento activo contra gravedad y resistencia m´ axima. M´ as de 20 repeticiones
Table 2. ´Indice de valoraci´ on de discapacidad de Barthel.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
´ Indice de Barthel Actividades C/Ayuda Comer 5 Pasar de la silla a la cama y viceversa 5-10 Aseo personal 0 Sentarse y salir del Toilette 5 Ba˜ narse 0 Caminar sobre plano 10 Subir y bajar escaleras 5 Vestirse 5 Control de intestino 5 Control de vejiga 5
Independiente 10 15 5 10 5 15 10 10 10 10
Como alternativa se propone establecer una escala gradual de avance motriz mediante la caracterizaci´ on de las se˜ nales que el cuerpo genera durante el proceso de terapia. En este proyecto, se propone como terapia ocupacional, un video juego de seguimiento de trayectorias que permita rehabilitar hombro y codo. Para registrar
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Caracterizaci´ on de trayectorias en terapias de rehabilitaciw´ on para sujetos de control
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las trayectorias seguidas por el paciente, se emplea el sensor de Kinect, este dise˜ no 3 fue previamente reportado. Para establecer el grado de movilidad muscular las se˜ nales m´as utilizadas son las provenientes de mediciones como el electroencefalograma(EEG), electromiograma(EMG), y electro cardiograma (ECG). Estas se emplean para control de pr´otesis en humanos con distrofia o amputaci´ on de miembros,4,5,6,7,8,9 para revisi´on 10,11 de avance en terapia y rehabilitaci´ on, . Han sido empleados para monitorear puntos espec´ıficos del cuerpo humano, como por ejemplo para medir la fatiga y fuerza muscular,12,13 y para monitorear y analizar se˜ nales cerebrales.14 Para analizar estas se˜ nales, se han empleado diversas t´ecnicas de procesamiento, que han permitido comprender, entender y en ocasiones descubrir el funcionamiento del cuerpo humano bajo ciertos padecimientos. Este proyecto plantea utilizar la t´ecnica de An´alisis de Fluctuciones sin Tendencia (DFA pr sus siglas en ingl´es) para caracterizar el movimiento de extremidades superiores, a partir del seguimiento de trayectorias pre-establecidas. En esta primera parte se presenta el trabajo realizado para caracterizar las series de datos de los sujetos de control, para posteriormente comparar los resultados contra los obtenidos en personas con diversas discapacidades f´ısicas. 2. Metodos 2.1. DFA El algoritmo DFA fue propuesto en 1994 por Peng y sus colaboradores para cuantficar las propiedades de correlaci´ on en las series de tiempo fisiol´ ogicas.15 El an´alisis num´erico de la serie temporal x(tk ), donde tk = k∆t y k = 1, 2, . . . , N , utilizando el algoritmo de DFA consiste en los siguientes pasos: (1) Determinar el perfile y(k) =
k X i=1
(x(ti ) − hxi) de la serie temporal, que es la
suma acumulada de las series, restando la media. (2) Dividir la serie temporal integrada y(tk ) en N ventanas de longitud s. (3) Calcular la tendencia local en cada ventana mediante el m´etodo de polinomio por m´ınimos cuadrados de grado m, representado por la curva interpolada ys (tk ). (4) Calcular la secuencia de fluctuaci´on local asociada a cada ventana , dada por Ys (tk ) = y(tk ) − ys (tk ),
k = 1, 2, . . . , N.
(1)
(5) Calcular la funci´ on de fluctuaci´on Fm definida como
Fm (s) =
N 1 X Ys (tk )2 N k=1
!1/2
,
que corresponde a la ra´ız cuadr´atica media de la secuencia Ys (tk ).
(2)
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(6) Repetir el procedimiento para diferentes longitudes de segmento s, donde el tama˜ no de las ventanas se establece entre nmin ≃ 5 y nmax ≃ N/4.15,16 Con el objetivo de determinar si la serie de tiempo presenta un comportamiento de escala, la funci´ on de fluctuaci´on Fm (s) debe revelar una ley de escalamiento en potencia Fm (s) ∼ sα ,
(3)
donde el exponente de escalamiento α puede ser estimado como la pendiente de la recta formada al graficar log(Fm (s)) versus log(s), cuantificando las propiedades de correlaci´ on de las series temporales. El valor de α = 0.5 indica que la se˜ nal es no-correlada (o ruido blanco). Si 0 < α < 0.5, la se˜ nal presenta un comportamiento anticorrelado (alternancia entre valores peque˜ nos y grandes), y las series de tiempo se dice que son anti-persistentes; si 0.5 < α < 1, la correlaci´ on en las series de tiempo son persistentes, donde los valores grandes en la se˜ nal son m´as probables de aparecer despu´es de valores grandes y viceversa. Valores particulares de α = 1 y α = 1.5 corresponden a ruido 1/f y movimiento Browniano, respectivamente.17,18,19,20,21 2.2. DWT La transformada wavelet es una t´ecnica de an´alisis de multi-resoluci´ on, ya que a partir de una forma de onda b´ asica (wavelet madre) que es escalada y trasladada, es posible obtener un estudio a escala de las se˜ nales analizadas.22 La funci´ on de escalamiento ϕ(t) se define como la soluci´on de la ecuaci´ on recursiva: X ϕ(t) = a(n)ϕ(2t − n) (4) k
La wavelet b´ asica se puede generar a partir de la funci´ on de escalamiento mediante la siguiente ecuaci´ on: X √ (5) Ψ (t) = h1 (n) 2ϕ(2t − n) k
Donde n es un n´ umero entero y h1 (n) es el conjunto de coeficientes asociados a cada wavelet. Esta funci´ on es tambi´en generadora de nuevas funciones wavelet hijas, que se emplean para describir mejor una se˜ nal, mediante la ecuaci´ on: Ψj,k (t) = 2j/2 Ψ (2j t − k)
(6)
Donde 2j es el factor de escalamiento en el tiempo t que da el efecto de multiresoluci´on y k es el t´ermino que implica la traslaci´on en t. Al aplicar las operaciones de traslaci´ on y escalamiento a la funci’on wavelet madre se genera un espacio Wj que es ortogonal al que se genera cuando se aplica el mismo proceso a la funci´ on de escalamiento b´ asica. Las ecuaciones 4 y 5 generan espacios en el plano bidimensional
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Caracterizaci´ on de trayectorias en terapias de rehabilitaciw´ on para sujetos de control
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de modo que cualquier funci´ on de este plano puede escribirse de la forma: f(t) =
X k
cj0 (k)ϕj0 ,k (t) +
inf XX
dj (k)Ψj,k (t)
(7)
k j=j0
Donde j0 puede ser cero o negativo. Los coeficientes c y d se conocen como los coeficientes de la transformada discreta wavelet (o DWT) de la se˜ nal f(t). Estos coeficientes tienen la capacidad de describir la se˜ nal original y se pueden usar de manera similar a los coeficientes de Fourier para las operaciones de an´alisis, descripci´ on, aproximaci´on y filtrado de se˜ nales.22 Cuando se aplica esta funci´ on en un primer nivel de descomposici´on se realiza una bisecci´ on de los componentes de frecuencia, es decir, se puede considerar a la DWT como dos filtros: uno pasa bajas y otro pasa altas, con una respuesta de acuerdo a la Fig. 1(a). El resultado de esta operaci´ on es una separaci´on de frecuencias en dos bloques, en el primero se agrupan los componentes de la se˜ nales de frecuencia baja (tambi´en llamados aproximaciones) y el segundo bloque contiene los componentes de frecuencia alta (o detalles). Este algoritmo puede usarse de manera reiterativa para as´ı formar los bancos de filtrado. Los cuales dividen el espectro de la se˜ nal en bloques de frecuencia tantas veces como niveles de descomposici´on se tengan, como se muestra en la Fig.1.
S S
Filtros
Pasa−Altas
Pasa−Bajas
cD2
cA2
cA3 A
cD1
cA1
cD3
D
(A)
(B)
´ Fig. 1. Arbol de descomposici´ on usando DWT. (A)Proceso de filtrado mediante DWT. (B)Banco de filtros usando DWT. En esta investigaci´ on se utilizan los bancos de filtrado para separar las frecuencias principales de las se˜ nales, permitiendo analizar solamente los componentes de frecuencias altas.
2.3. Datos En la referencia3 se detalla el dise˜ no del sistema enfocado en dar terapia de rehabilitaci´ on a personas con problemas motrices en extremidades superiores. Basado en
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el sensor Kinect se implement´ o un video juego que sugiere seguir una trayectoria que permite realizar diversos movimientos en hombro, codo y mu˜ neca. La primer trayectoria programada es del laberinto rectangular, con este sistema se obtuvieron datos de 10 personas de entre 23 y 35 a˜ nos de edad, sin ningn padecimiento actual o previo en su brazo derecho (sujetos de control). A estos se les pidi´o seguir la trayectoria predeterminada sin restricciones de tiempo. El sensor almacen´ o los datos de trayectorias seguidas en los ejes X, Y y Z para la mu˜ neca, el codo y el hombro. En la Fig.2(a) se muestra la trayectoria seguida por la mu˜ neca derecha del sujeto de control 2. Esta trayectoria est´ a definida por componentes en los ejes X, Y y Z (Fig.2(b)).
1.5
1.6
Componente X Componente Y Componente Z
1.4 1.4
1.2 1
1.3
1.2
Y
Y
0.8 0.6 0.4 1.1
0.2 0
1
−0.2 0.9 −0.4
−0.2
0 X
0.2
0.4
−0.4 0
2000
4000 X
6000
8000
Fig. 2. Trayectoria seguida por sujeto de control 2. (a) Trayectoria en tres dimensiones; (b) Descomposici´ on de la trayectoria en los tres ejes.
3. Resultados y discusi´ on En esta secci´ on se presentan los resultados de la caracterizaci´on de las series temporales de los sujetos de control, obtenidas en el proceso de rehabilitaci´ on propuesto. Se presenta el an´alisis de las se˜ nales de las series de datos para la junta de la mu˜ neca. El movimiento a trav´es del laberinto cuadrado, puede descomponerse en se˜ nales en cada uno de los ejes X, Y y Z. Cada uno presenta dos componentes de frecuencia principalmente. El primero, es una se˜ nal senoidal de frecuencia baja, que representa el movimiento grueso de la mu˜ neca a trav´es de los ejes. El segundo, es una se˜ nal no peri´odica que representa el movimiento fino al completar la trayectoria, contenido en frecuencias mayores. Para extraer la componente de frecuencia principal se us´o
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DWT como m´etodo y utilizando Daubechies4 (db4) como la wavelet madre propuesta. Inicialmente se hizo un barrido del n´ umero de niveles de descomposici´on, analizando el contenido en frecuencia de las aproximaciones resultantes. En la Fig. 3 se muestra el resultado de hacer variar el n´ umero de descomposiciones en la transformaci´ on. Se aprecia que al aplicar 7 y 8 niveles de descomposici´on, el contenido de la frecuencia principal comienza a deteriorarse, mostrando la se˜ nal distorsionada respecto a la senoide original. De este an´alisis se determi´ no utilizar 6 niveles de descomposici´on para separar la serie de datos en sus dos bloques de componentes de frecuencia principales. Una vez seleccionada la wavelet madre as´ı como el n´ umero de descomposiciones necesarias, se aplic´ o la transformaci´ on a todas las se˜ nales (en X, Y y Z), para posteriormente analizarlas v´ıa DFA.
aproximaciones con descomposiciones wavelet db4 0.5
señal original #desc=4 #desc=5 #desc=6 #desc=7 #desc=8
0.4 0.3 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Fig. 3. Aproximaciones de la se˜ nal en X en la junta de la mu˜ neca del sujeto de control 2. Al incrementar el n´ umero de niveles de descomposici´ on la senoide se aprecia m´ as clara, sin embargo a partir del s´ eptimo nivel de descomposici´ on se aprecia deterioro de la senoidal. Este an´ alisis se realiz´ o utilizando Daubechies 4 como wavelet madre.
En la Tabla 3 se resumen los valores obtenidos en cada uno de los an´alisis para las se˜ nales de los ejes X, Y y Z del movimiento registrado en la mu˜ neca de los 10 sujetos de control. Es posible comparar los resultados de los an´alisis para las se˜ nales: (a)Original, (b)Componente de baja frecuencia (aproximaciones) y (c)Componentes
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de alta frecuencia (detalles). En el caso de la se˜ nal original y de la componente de baja frecuencia el valor de α es dentro del mismo rango de seales correlacionadas (α > 1/2), lo cual indica que la senoidal (componente de frecuencia principal) tiene un efecto fundamental en los resultados del an´alisis. Las componentes de alta frecuencia en los tres ejes (X, Y y Z) presentan un α que indica una correlaci´ on persistente en sus resultados. Esto habla de una tendencia en el seguimiento de la trayectoria en los sujetos de control. Table 3. Resumen de valores obtenidos en el an´ alisis de DFA a las se˜ nales de los ejes X, Y y Z para el movimiento en mu˜ neca de los sujetos de control.
Paciente Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Sujeto Media
de de de de de de de de de de
control control control control control control control control control control
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Original X 1.9009 1.8913 1.9073 1.8633 1.8294 1.8068 1.7312 1.8426 1.8406 1.8754 1.8400
Frec. Ppal X 1.989 1.999 1.981 1.990 1.975 1.974 1.947 1.989 1.965 1.980 1.979
Frec. Altas X 0.657 0.641 0.728 0.636 0.630 0.627 0.625 0.638 0.635 0.640 0.645
Original Y 1.740 1.898 1.884 1.794 1.736 1.732 1.683 1.784 1.710 1.840 1.776
α Frec. Ppal Y 1.980 1.976 1.988 1.985 1.943 1.968 1.991 1.989 1.935 1.974 1.973
Frec. Altas Y 0.800 0.780 0.801 0.760 0.743 0.739 0.735 0.756 0.754 0.775 0.764
Original Z 1.643 1.846 1.823 1.511 1.358 1.449 1.417 1.532 1.628 1.592 1.565
Frec. Ppal Z 1.988 1.992 1.958 1.893 1.864 1.912 1.840 1.855 1.857 1.901 1.906
En la Fig. 4 se muestra el comparativo de resultados obtenidos por DFA para la trayectoria en X de mu˜ neca de los 10 pacientes (valores medios). Se comprueba que la se˜ nal original y la aproximaci´on obtenida por DWT tienen el mismo resultado por DFA,(α=1.9 apr´ oximadamente) lo que indica que la componente principal en frecuencia predomina en al an´alisis a escalas grandes. Por otra parte, los detalles de la descoposici´on (componentes de alta frecuencia de la se˜ nal) en la trayectoria manejan un valor de α = 0.5. Esto implica que los movimientos finos de la mu˜ neca tienen un comportamiento de correlaci´ on persistente. Adicionalmente se hizo el c´ alculo de energ´ıas en cada uno de los casos resultantes, el valor medio se observa en la Fig. 5. Nuevamente se observa que las se˜ nales originales y las aproximaciones conservan el mismo nivel de energ´ıa, y este es mucho mayor a la energ´ıa contenida en las componentes de alta frecuencia. 4. Conclusiones En este trabajo se presenta el an´alisis de las series temporales obtenidas de un proceso de terapia a sujetos de control, Mediante el an´alisis presentado es posible comprobar, que los resultados obtenidos al analizar diferentes se˜ nales con la t´ecnica DFA se ven alterados por los componentes de mayor amplitud. Al eliminar dichas componentes es posible obtener m´as informaci´ıon acerca del compor-
Frec. Altas Z 0.585 0.580 0.590 0.576 0.569 0.568 0.560 0.570 0.567 0.579 0.574
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tamiento y grado de correlaci´ on de las series temporales. Para el tipo de se˜ nales analizadas se opt´ o por separar la componente de frecuencia principal, que representa el movimiento grueso de la trayectoria y las componentes de frecuencia alta, que representan el movimiento fino. Para esto se propuso utilizar DWT con una wavelet madre Daubechies 4 en seis niveles de descomposici´on. Esta separaci´on permiti´ o caracterizar tanto el movimiento grueso como el fino de las trayectorias seguidas por los sujetos de control, encontrando que ambas componentes tienen un grado de correlaci´ on dependiente del contenido en frecuencia. Referencias 1. Mulligan, Terapia ocupacional en pedriatr´ıa. Proceso de evaluaci´ on, Ed. M´edica Panamericana, (2006). 2. Gu´ıa de pr´ actica cl´ınica para el manejo de pacientes con ictus en atenci´ on primaria,Gu´ıas e pr´ actica cl´ınica en el SNS, Anexo 6,102, (2012). 3. A. Montes-Alonso, E. Torres- B´ aez, E. Flores, R. de Le´ on-Lomel´ı, and E. Gonz´ alezGalv´ an, Congreso nacional de ingenier´ıa biom´edica (CNIB), 2014 (Puerto Vallarta, M´exico, 2014). 4. J.Chu, I. Moon, S. Kim, and M. Mun, IEEE/RSJ International Conference In Intelligent Robots and Systems (IROS), 2005, (3511). 5. J. Ezquerra, J. S. Mora,and J. A. Moreno, 14th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society (IEMBS),(Paris 1992), 1437. 6. M. Lucas, A. Gaufriau, S. Pascual, C. Doncarli,and D. Farina, B iomedical signal and processing control 3, 169 (2007). 7. M. Arvetti, G. Gini, and M. Folgheraiter, Proceedings of the 2007 IEEE 10th International Conference on Rehabilitation Robotics (Noordwijk, 2007), 531. 8. G.C. Matrone, C. Cipriani, M.C. Carrozza and G. Magenes, J ournal of NeuroEngineering and Rehabilitation 9, 40 (2012). 9. R. Song, K. Y. Tong, X. L. Hu, S. F. Tsang, and L. Li, EMBS Annual International Conference, (New York City 2006), 4945. 10. G. Li, A. E.Schultz, and T. A Kuiken , Neural Systems and Rehabilitation Engineering, IEEE Transactions on 18, 185 (2010). 11. J. Rafiee, M.A. Rafiee, F. Yavari, M.P. Schoen, Expert Systems with Applications 38, 4058 (2011). 12. E.D. Engeberg, S. Meek, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 55,70 (2008). 13. T. Vukova, M. Vydevska-Chichova, N. Radicheva, Journal of electromyography and kinesiology 18, 397 (2008). 14. J. Rafiee, M.A. Rafiee, N. Prause,and M.P. Schoen, Expert systems with applications 38, 6190(2011) 15. C.-K. Peng, S.V. Buldyrev, S. Havlin, M. Simons, H.E. Stanley, and A.L. Goldberger, Phys. Rev. E 49, 1685 (1994). ´ 16. J. Alvarez-Ram´ ırez, E. Rodr´ıguez, J.C. Echeverr´ıa, H. Puebla. Chaos Solitions and Fractals 36, 1157 (2008). 17. R. Nagarajan, R. G. Kavasseri,“Minimizing the effect of trends on Detrended fluctuation analysis of long-range correlated noise”, Physica A, 182 (2005). 18. D. Deligni´eres, S. Ramdani, L. Lemoine, K. Torre, M. Fortes, and G. Ninot, J. Math. Psychology 50, 525 (2006). 19. J.W. Kantelhardt, S.A. Zschinegner, E. Koscielny-Bunde, S. Havlin, A. Bunde, and
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DFA medio de señales de muñeca 2 1
DFA Señal original en X DFA Aprox en X DFA Detalles en X
0 −1
log(F(n))
−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 1.5
2
2.5
3
3.5
4 log(n)
4.5
5
5.5
6
Fig. 4. Valor medio de resultados en los 11 pacientes. El comportamiento de la gr´ afica para las se˜ nales originales y de las aproximaciones derivadas del an´ alisis con DWT es similar,mientras que los detalles presentan un comportamiento de correlaci´ on persistente en los componentes de alta frecuencia.
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Comparación de energía en señales originales y aproximaciones X 2000
1500
1000 Energía (a.u.)
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Señales originales Aproximaciones 500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4 Detalles
0
1
Fig. 5.
2
3
4
5 6 Pacientes
7
8
9
10
Niveles de energ´ıa en las se˜ nales de los 10 sujetos de control.
