Análisis y simulación de una vena como tejido biológico isotrópico

MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO

Análisis y simulación de una vena como tejido biológico isotrópico 1

Palomares Ruiz Juan Enrique, 1Suzuki Valenzuela Mario, 2O´connor Blanco Joan, 3Rodriguez Madrigal Melchor, 1Zandoval Figueroa Alfredo, 1

Centro de tecnología avanzada, Instituto Tecnológico Superior de Cajeme,

Carretera Internacional a Nogales km. 2, Ciudad Obregón, Sonora, MEXICO Teléfono: 01 644 4108650 ext. 1603, [email protected] 2

3

Instituto de Cibernética Matemática y Física, ICIMAF. La Habana, Cuba.

Instituto Superior Politécnico José A Echeverría, ISPJAE. La Habana, Cuba

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

PALABRAS CLAVE: Distribución de esfuerzos; vena; tomógrafo axial computarizado; Comsol; Rhinoceros; isotrópico; anisotrópico.

and later to analyze it in a software of finite element, where there is in use a model of mechanical behavior isotrópic with experimental constants, instead of one anisotrópic, with the purpose of being able to simplify the model.

NOMENCLATURA INTRODUCCIÓN E Módulo de Young (Pa) υ Coeficiente de Poisson (adimensional) W Densidad de energía de deformación F Gradiente de deformación C1, C2 Constantes de material I1,I2 Invariantes de esfuerzos RESUMEN El propósito del presente trabajo, consiste en conocer la forma en que se distribuyen los esfuerzos que generan las cargas, comúnmente presentes en una vena de cuerpo humano, utilizando un modelo geométrico creado con splines, mediante la obtención de imágenes por medio de un tomógrafo axial computarizado, para a su vez construir un modelo 3D con el software Rhinoceros, y posteriormente analizarlo en un software de elemento finito, donde se utiliza un modelo de comportamiento mecánico isotrópico con constantes experimentales, en lugar de uno anisotrópico, con la finalidad de poder simplificar el modelo. ABSTRACT The intention of the present work, it consists of knowing the form in which there are distributed the efforts that generate the loads, commonly present in a vein of human body, using a geometric model created with splines, by means of the obtaining image by means of a computerized axial tomography, in turn a model constructs 3D with the software Rhinoceros,

El cuerpo humano está compuesto de materiales los cuales tienen un comportamiento mecánico difícil de comprender, esto al compararlos con materiales normalmente utilizados por el ingeniero con comportamientos hookeanos, los cuales pueden ser representados fácilmente, pero al referirse al cuerpo humano se debe tomar en cuenta de que los materiales son más complejos, éstos presentan comportamientos no lineales. En este artículo el tema principal de la investigación son los materiales del cuerpo como los tejidos blandos anisotrópicos. En primera instancia se definirán los términos a los que se hará referencia para homogenizar criterios y direccionarnos a la misma posición, para lo cual se dirá que cuando se hable de tejidos biológicos blandos nos referiremos a un grupo de tejidos que une, soporta y protege a los organismos vivos, distinguiéndose de los tejidos duros (mineralizados) por su alta flexibilidad. Estos tejidos blandos están compuestos por estructuras complejas reforzadas con fibras, las cuales dependiendo de sus propiedades mecánicas, de la concentración y disposición de elementos como la elastina, las fibras de colágeno y células musculares, tendrán comportamientos diferentes tanto como diferentes sean entre sí. Por otro lado la anisotropía está referida a los cambios en las propiedades mecánicas, térmicas y demás esto según la dirección en la que se examinen, o bien se refiere a que dependiendo de la dirección en

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que se realicen pruebas en los materiales los resultados obtenidos serán diferentes, esto sin mencionar que también se presentan situaciones con dos o más familias de fibras con sus direcciones propias. Por citar algunos ejemplos de tejidos biológicos podemos mencionar a las arterias y venas, cartílagos, ligamentos, tendones, músculos o piel. En general, son materiales compuestos formados por una matriz orgánica blanda reforzada por fibras de colágeno y elastina. Su comportamiento depende de nuevo de su composición estructural, especialmente del porcentaje de fibras, sus características y tipo de agrupamiento. Así, los tejidos especializados en la resistencia a tracción (ligamentos) son ricos en fibras y su orientación coincide esencialmente con la dirección del esfuerzo al que están sometidos, mientras que los que absorben elásticamente las fuerzas de compresión (los cartílagos) son ricos en proteoglicanos y con las fibras distribuidas en varias direcciones. Las venas en específico son tejidos blandos con la característica de estar formados por tres capas principales, la íntima, la media y la adventicia. El diámetro de las arterias disminuye gradualmente, a medida que se alejan del corazón; al mismo tiempo, disminuye también el espesor de sus paredes, como las grandes arterias, como la aorta, cuyo diámetro es de 2.5 a 3.0 cm aproximadamente y cuya pared es relativamente gruesa, se pasa a arteriolas de un diámetro medio de 0,2 milímetros y una pared muy delgada. las arterias tienen una forma regularmente cilíndrica, incluso cuando están vacías de sangre; esta característica, debida al notable espesor y a la estructura muscular y elástica de la pared, es propia solamente de las arterias y permite distinguirlas fácilmente de las venas, que, en cambio, se relajan cuando están vacías, debido a las fibras de músculo liso elásticas, las arterias se distienden al paso de la ola sanguínea (que corresponde a la fase de contracción, sístole, del corazón) y, sucesivamente, se estrechan. Algunos de los problemas más importantes asociados al desarrollo de la Biomecánica corresponden al elevado costo de la experimentación, la imposibilidad en muchos casos de realizar ensayos realistas y personalizados y la dificultad de aislar el efecto de cada uno de los factores involucrados. Todo ello, junto al desarrollo acelerado de los ordenadores y métodos de cálculo asociados, singularmente del método de elemento finito (MEF), ha hecho de la Biomecánica una

candidata natural a la utilización de modelos computacionales. Sin embargo pese a que se han desarrollado software que es capaz de realizar algunos análisis por MEF a materiales hiperelásticos anisotrópicos, estos poseen precios elevados y no del todo adecuados para modelar tejidos biológicos, por lo que es un campo no totalmente dominado para los diseñadores. Aunado a este tema se encuentra una reciente tecnología llegada a los hospitales, los tomógrafos modernos con la capacidad de crear imágenes del cuerpo humano en tercera dimensión, además de poder separar los diferentes materiales del cuerpo unos de otros, por lo que es un avance increíble con muchas posibles aplicaciones. La combinación de los modernos tomógrafos para la caracterización geométrica de los tejidos, con los softwares de diseño mecánico del mercado abren la posibilidad de combinarlos en proyectos que presenten geometrías físicas reales de tejidos, con el análisis de condiciones físicamente difíciles de estimar, aproximados en simulaciones computacionales con modelos matemáticos de comportamiento de los materiales propuestos. Habiendo aclarado lo anterior, estableceremos las relaciones o modelos existentes que describen el comportamiento de los tejidos blandos anisotrópicos en términos matemáticos para su representación física. Los materiales hiperelásticos se encuentran caracterizados por la expresión de su función de densidad de energía libre W de variable el estado de deformación. Existen varios modelos que a continuación se mencionan algunos. Saint-Venant Kirchhoff Neohookeano Neohookeano modificado Mooney-Rivlin Yeoh Blatz y Ko Orden

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como su fácil paso a diferentes formatos, la escala de colores que utiliza, y la continuidad de información brindada en una serie de imágenes bien definidas.

Figura 1. Curvas de comportamiento de diversos modelos

En mecánica de medios continuos , MooneyRivlin es un modelo donde la densidad de energía de deformación función W es lineal y combinado con dos invariantes de Cauchy green.

Las imágenes constan de una escala de grises que va desde el blanco hasta el negro en 256 tonalidades, las cuales anteriormente ya han sido estudiadas por otros autores. Las imágenes con sus tonalidades hacen posible la identificación de las fronteras de un material y de otro, dado que cada material tiene propiedades diferentes, estas propiedades al pasar por el tomógrafo se caracterizan en una escala de gris (escala Hounsfield), así un material con ciertas características revelará un tono especifico a tales características, pudiendo distinguirse de entre los demás con otras propiedades.

La energía de deformación función de densidad de Rivlin-Mooney es

Donde C1 y C2 son constantes empíricas del material, I1 e I2 son respectivamente el primer y segundo invariante de esfuerzos.

Figura 2. Grupo de imágenes Dicom de una vena comun

Donde F es el gradiente de deformación y J=1 cuando el material es incompresible. DESARROLLO La adquisición y manipulación de imágenes médicas por medio de técnicas no invasivas, resulta un elemento primordial y necesario en la investigación médica, la tomografía computarizada, es una de las varias técnicas existentes utilizadas y es a su vez, el primer tópico desarrollado dentro del presente trabajo. Modelo geométrico Se presenta un método de reconstrucción tridimensional de tejidos blandos a partir de imágenes tomográficas planas, que permite la utilización de imágenes en formato DICOM, formato de imagen entregado por los tomógrafos convencionales. Estas imágenes presentan ciertas características que pueden ser aprovechadas para la caracterización de la información geométrica presentes en ellas, tales

Las imágenes en escala de grises pueden ser exportadas a Rhinoceros como una curva vectorial manipulable en el mismo programa, o como nube de puntos que se convierten en Rhinoceros en curvas vectoriales, las cuales son colocadas a una separación de 5mm verticalmente (separación vertical entre una tomografía y otra), posteriormente se forma una nube de puntos a partir de las curvas, las cuales utiliza el programa para unir cada grupo de puntos de nube en nube hasta estar completando el espacio entre segmentos. El numero de cortes o imágenes utilizadas para recrear el modelo 3D indicará la aproximación geométrica del modelo, dado que se pretende realizar una simulación lo más exacta posible sin saturar el modelo computacional, se realizan pocos cortes partiendo de la premisa de que las venas son parcialmente simétricas. Las coordenadas de los puntos que conforman los contornos de la vena en las imágenes DICOM son exportadas a un archivo txt (que

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puede ser reconocido por Rhinoceros), el cual es convertido a curvas vectoriales.

Figura 3. Paso desde nube de puntos a curva vectorial

Se procede a realizar la exportación de nubes de puntos dentro del mismo plano, y a su vez su transformación a curvas vectoriales, hasta completar todos los contornos del plano.

El modelo puede ser mallado en Rhinoceros, pero dada la compleja geometría que se presenta se opta por realizar el mallado en Comsol, por tratarse de un programa especializado en el análisis los mallados, modelos de comportamiento, cargas, empotramientos y demás condiciones frontera pueden ser especificados con un grado mayor de precisión. El proceso se realizó para la íntima, la media y la adventicia, cuidando que las superficies creadas no se intercepten, lo cual podría impedir el proceso de mallado del modelo. Análisis del modelo Posteriormente se exporta la geometría a Comsol, se agrupa cuidadosamente cada una de las capas de la vena, cuidando que las superficies internas y externas hagan contacto con cada superficie de la capa contigua, y evitando que se intercepten para lograr un mallado funcional.

Figura 4. Plano completo con todos los contornos

Se repite este mismo procedimiento con cada imagen y cada plano de la geometría, para proseguir a unir los contornos de todos los planos en una geometría 3d. Lo cual se realiza uniendo contornos de un plano con su contorno en el plano contiguo al plano de trabajo, y sucesivamente se repite la operación con cada plano.

Figura 6. Íntima, media y adventicia en contacto superficial dentro de Comsol

Una vez seguros de que las superficie están en contacto en cada punto se procede a mallar el modelo geométrico. Para lo cual se procura bajar el número de elementos dentro de la malla, lo cual se hace refinando los lugares de empotramiento, mientras en el centro utilizar elementos de mayor tamaño.

Figura 5. Contornos antes y después de ser unidos

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Considerando otras características propias de los tejidos como densidad de 960 kg/m3 y coeficiente de expansión térmica menor a 1e-5 1/K, además de la colocación de una fuerza distribuida equivalente a 100 mm Hg en la superficie interna de la íntima, más un empotramiento parcial en sentido opuesto de los nodos de la adventicia, similar a la presión ejercida por los músculos que rodean a las venas. Se realizó el análisis presentando las siguientes distribuciones de esfuerzos, siendo el color rojo un valor máximo de 344572 Pa y el color amarillo como el menor valor con 22841 Pa.

Figura 7. Mallado del modelo geométrico

Estas especificaciones tienen la finalidad de determinar las zonas de menor tamaño dentro del modelo, en este caso las orillas de la vena, debido a que es en estas zonas donde se realizan los empotramientos en los estudios experimentales (por la forma de sujeción) y es donde se realizarán en la simulación, además de que los elementos de cercanía inmediata a los puntos de aplicación de las cargas y empotramientos presentan esfuerzos mayores a los demás elementos, esto debido al principio de Saint-Venant, por lo que el elevado número de elementos favorece a difuminar este efecto. Por otro lado reducir el número de elementos presentes en la parte central para reducir el trabajo y tiempo del análisis computacional es de ayuda para reducir el tiempo de procesamiento que se requiere. Se colocaron condiciones de frontera dentro del modelo, las cuales se mencionan a continuación: Figura 7. Distribución de esfuerzos Tabla 1. Condiciones frontera

Modulo de Young E Modulo de poisson υ Modelo

Tipo de elemento de malla Número de elementos Numero nodos

de

Intima 30 Mpa

Media 300Mpa

adventicia 30 Gpa

0.49 MooneyRivlin

0.49 MooneyRivlin

0.49 MooneyRivlin

isotropico

isotropico

isotropico

Triangulo

Triangulo

Triangulo Figura 8. Distribución de esfuerzos corte transversal inferior

228319 296814

219446 286589

220786 293013

RESULTADOS

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Los valores obtenidos en el análisis son comparados con estudios previos de otros investigadores, los cuales utilizaron otros programas y modelos diferentes para la realización de ensayos similares. Nieto Palomo F, Ferrero Polo A, 2007, utilizaron el programa Ansys e I-DEAS para realizar su simulación. Tabla 2. Resultados, A bidimensional, B 3D de una capa, C 3D de tres capas Con ANSYS, Con I-DEAS, tención (MPa) tención (MPa) A .4 .43 B .3 .34 C .4 .38

Sergey Sidorov, 2007, utilizó una versión de Ansys, con lo que obtuvo un rango de 320422 Pa en una simulación 3D de una vena con tres capas.

Además de hacer referencia a las imágenes del tomógrafo, las cuales contenían suficiente información para realizar la reconstrucción 3D del modelo geométrico, se puede estimar que posteriores y similares estudios se podrían realizar con metodologías similares, siempre y cuando la geometría del objeto de estudio presente condiciones de simetría básica o parcial, y la geometría no resulte sumamente compleja. La simulación demuestra que los esfuerzos mayores se presentan en la parte interna del modelo (íntima), los cuales van disminuyendo gradualmente al alejarse del centro, por lo que la capa media tiene una menor cantidad de esfuerzo, y finalmente la adventicia presenta la menor cantidad, por lo que se observa una distribución decreciente dentro y a las orillas del modelo. REFERENCIAS

Javier Rodríguez, Juan Carlos García, 2008, realizó otra simulación mas pero usando el software Abacus, presentando el siguiente rango .34 Mpa. Cabe mencionar que las distribuciones, se concentraron geométricamente en gran medida cerca de los empotramientos y en la parte interior de la vena, contigua o sobre la capa de la íntima. Al compararlos con los 344572 Pa o .34Mpa que se obtuvieron con la simulación y los estudios anteriores se da una mejor idea de lo confiable que resulta la simulación. Además se aprecia por la parte interior del modelo una carga del mismo nivel que la presente en los empotramientos, la cual disminuye gradualmente desde la capa interior hasta la capa exterior del modelo.

CONCLUSIONES Se observa que los valores críticos se encuentran dentro del rango de los estudios realizados por los autores previamente citados, y que además se encuentran cerca de los lugares de empotramiento, lo que significa que el resultado es algo particular a la geometría construida, dadas las condiciones frontera y características se puede estimar que la razón podría ser la extensión del modelo reconstruido.

[1] Nieto, F. et all, Evaluación de diversos modelos para el estudio mecánico de aneurismas de aorta abdominal mediante elementos finitos, 8º Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, Cusco, 2007 [2] Sidorov, S., Finite element modeling of human artery tissue with a nonlinear multimechanism inelastic material, Sometido por la facultad de ingeniería de Pittsburgh la universidad de filosofía de en cumplimiento parcial de las exigencias para el grado de doctor, 2007 [3] Gabaldon, F. & Rodriguez, J., Modelos de comportamiento de material para tejidos biológicos blandos, tesis, Grupo de Mecánica Computacional E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Universidad Politecnica de Madrid, 2006 [4] Garcia, J. & Rodriguez, J., Application of gid to 3d biomechanics problems, interfacing with abaqus and feap, Universidad politécnica de Madrid, 2000 [5] Goicolea, J.M. et all, Modelos constitutivos para paredes arteriales y su implementación mediante elementos finitos, métodos numéricos en ingeniería V, Ed. CIMNE, 414 pp. 2002 [6] Rodríguez, J., Modelos numéricos para mecánica cardiovascular de las paredes arteriales y sus procesos de adaptación, tesis doctoral, universidad politécnica de Madrid, 2003

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[7] Izcovich, E. et all, El espesor íntima-media carotídeo como predictor de placasateros cleróticas en la aorta torácica, 2009 [8]Rodríguez, J., Simulación de las paredes de arterias coronarias en bifuraciones, e.t.s. ingenieros de caminos, canales y puertos universidad politécnica de Madrid, 2008

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