Análisis del error

Alumno: Javier Montiel RomeroIng. Petrolera 3 "A" MatutinoAlumno: Javier Montiel RomeroIng. Petrolera 3 "A" MatutinoPortafolio de evidEncias: unidad 1Catedrático: Ing. Alonso Landero de la CruzPortafolio de evidEncias: unidad 1Catedrático: Ing. Alonso Landero de la Cruz
Alumno: Javier Montiel Romero
Ing. Petrolera 3 "A" Matutino

Alumno: Javier Montiel Romero
Ing. Petrolera 3 "A" Matutino

Portafolio de evidEncias: unidad 1
Catedrático: Ing. Alonso Landero de la Cruz
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1.1 Problemas matemáticos y sus soluciones
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma:

Variable dependiente = f(Variables independientes, parámetros, funciones de fuerza) (Ec. 1.1)
Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema.
La expresión matemática de la ecuación (1.1) va desde una simple relación algebraica hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él. La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuación
F=ma (Ec. 1.2)
Donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2).
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener:
a= Fm (Ec. 1.3)
Donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la función de fuerza y m es un parámetro que representa una propiedad del sistema. Observe que en este caso específico no existe variable independiente porque aún no se predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.
La ecuación (1.3) posee varias de las características típicas de los modelos matemáticos del mundo físico:
1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos.
3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a empleare con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuación (1.3) se emplea para calcular la aceleración
Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (1.2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos físicos sean mucho más complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la simple álgebra. Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en caída libre será el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y sustituyendo en la ecuación (1.3). Se tiene:
dvdt=Fm (Ec. 1.4)
Donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). Así, la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Si la fuerza neta es positiva, el cuerpo se acelerará. Si es negativa, el cuerpo se desacelerará. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecerá constante. Ahora expresemos la fuerza neta en términos de variables y parámetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU.
F=FD+FU (Ec. 1.5)
Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como
FD=mg (Ec. 1.6)
Donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 9.8 m/s2.
La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa en dirección hacia arriba tal como:
FU= -Cv (Ec. 1.7)
Donde C es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podría ser función del tipo de traje o de la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre. La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene
dvdt=mg-Cvm (Ec. 1.8)
O simplificando el lado derecho de la igualdad,
dvdt=g-Cm v (Ec. 1.9)
La ecuación (1.9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solución de la segunda ley de Newton en la ecuación (1.3), la solución exacta de la ecuación (1.9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo necesario emplear técnicas más avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación (1.9), así
vt=gmc 1-e-cmt (Ec. 1.10)
Note que la ecuación (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1.1), donde vt) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza.
Solución analítica del problema del paracaidista que cae
Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación (1.10) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s. Solución. Al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.10) se obtiene:
vt=9.8(68.1)12.5 1-e-12.568.1t=53.39 (1-e-0.18355t)
Que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se tiene:





T, s
V, m/s
0
0.00
2
16.40
4
27.77
6
35.64
8
41.10
10
44.87
12
47.49

53.39

A la ecuación (1.10) se le llama solución analítica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matemáticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la única alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta.
Como ya se mencionó, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante:
dvdt v t= v ti+1-v titi+1- ti (Ec. 1.11)
Donde v y t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v ti es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v ti+1 es la velocidad algún tiempo más tarde ti+1. Observe que dvdt v/ t es aproximado por que t es finito. Recordando los cursos de cálculo tenemos que:
dv/dt=lim t v t
La ecuación (1.11) representa el proceso inverso.
A la ecuación (1.11) se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación (1.9), tenemos:
v ti+1-v titi+1- ti=g-Cm v (ti)
Esta ecuación se reordena para obtener
v ti+1= v ti=[g-Cm v ti v ti+1- ti] (Ec. 1.12)
Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación diferencial [ecuación (1.9)]. Es decir, este término nos da un medio para calcular la razón de cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algún tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la velocidad en ti+2 y así sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo,
Valor nuevo = valor anterior + pendiente × tamaño del paso
Observe que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler.
Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista
Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo anterior, pero usando la ecuación (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2s para el cálculo.
Solución. Al empezar con los cálculos (ti=0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo 1.1, se utiliza la ecuación (1.12) para calcular la velocidad ti+1 = 2s:
v =0+9.8-12.568.1 02=19.60 m/s
Para el siguiente intervalo de (t= 2 a 4s), se repite el cálculo y se obtiene:
v =19.60+9.8-12.568.1 19.602=32.00 m/s
Si continúa los cálculos de manera similar para obtener los valores siguientes:
T, s
V, m/s
0
0.00
2
19.60
4
32.00
6
39.85
8
44.82
10
47.97
12
49.96

53.39



1.2 Importancia de los métodos numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas
Integrales
Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices
Interpolaciones
Ajuste de curvas
Polinomios
Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes.
 
Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.
 
Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.
 
Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.
 
Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.
 
Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.
 
Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora. 

Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis Numérico.
De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los textos de "Métodos Numéricos" más que la de los textos de "Análisis Numérico".


1.3 Definición y tipos de errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:

Valor verdadero = valor aproximado + error (Ec.1)

Reordenando la ecuación Ec.1, se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado esto es:

Ev = valor verdadero – valor aproximado

Donde Ev se usa para redondear el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v para dar a entender que se trata del "verdadero" error.
Un defecto es que muchas veces no se toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en:

Error relativo fraccional = error / valor verdadero

Donde:
Error = valor verdadero – valor aproximado.
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero.

Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado)100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por

Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100)

Si se cumple la relación anterior , entonces se considera que el resultado obtenido esta dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado(Es):

Abs(Ea)

ERRORES DE REDONDEO

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó "truncamiento" en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa.

La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:
1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí, es decir, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.



ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor.

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.
Siendo el termino final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par a un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco.

ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. La única forma de minimizar los errores de redondeo es la de incrementar el número de cifras significativas de la computadora.
ERRORES POR EQUIVOCACIÓN

En los primeros años de la computación los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy día esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye a errores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y pueden contribuir con todas las otras componentes del error. Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discusión del método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto inevitables.

ERRORES DE FORMULACIÓN

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los resultados adecuados.