ANÁLISIS DE UNA PROPUESTA DIDÁCTICA HIPERTEXTUAL PARA LA ENSEÑANZA DEL
MÉTODO: NEWTON-RAPHSON
PARA EL CÁLCULO DE RAÍCES
Williner, Betina; Favieri, Adriana; Scorzo, Roxana
Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Haedo)
[email protected]
Propuesta de enseñanza. Innovaciones en el uso de tecnologías aplicadas en
el aula de matemática
Resumen
En el presente artículo comunicamos una experiencia realizada en la
Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Haedo), en la cual,
mediante un hipertexto, presentamos el método de Newton Raphson para la
aproximación de raíces, en dos comisiones de Análisis Matemático I de las
carreras de Ingeniería. Exponemos aquí el objetivo que pretendemos lograr
con el uso de este recurso, una síntesis del diseño del mismo, los
resultados de una encuesta efectuada a los alumnos que participaron en la
experiencia, las observaciones que surgieron al ponerlo en práctica y las
conclusiones a las que arribamos.
Introducción
Como docentes consideramos que nuestro compromiso no es sólo impartir
conocimiento e información, sino también brindarle al alumno herramientas
que le permitan "aprender a aprender", lograr paulatinamente independencia
en su accionar y poder crecer como persona autónoma y responsable.
Una de las posibilidades que nos ofrecen las nuevas tecnologías es crear
materiales didácticos de tipo hipertextual, los que pueden ser abordados de
acuerdo a las necesidades del alumno, fomentando el estudio autónomo e
independiente, ya que es él quien se enfrenta a la información, la
organiza, la revisa tantas veces como lo considere pertinente,
privilegiando así "el saber hacer y desempeñarse".
Elaboramos un hipertexto sobre el método de Newton Raphson de aproximación
de raíces de ecuaciones para ser implementado en la asignatura Análisis
Matemático I de carreras de Ingeniería, en el que utilizamos software
Mathematica®. El objetivo es que, mediante este material y sobre una base
teórica sólida de Cálculo Diferencial, el alumno pueda comprender por sí
mismo la deducción de la fórmula de Newton-Raphson y aplicarla a diferentes
ejercicios. De esta manera, a través de la hipertextualidad, logramos
combinar estudio independiente y aplicaciones con software sobre uno de los
temas de la asignatura.
Con el propósito de poner a punto este material, realizamos una experiencia
en dos comisiones de Análisis Matemático I de carreras de Ingeniería de la
UTN (Facultad Regional Haedo). Durante la misma recabamos datos sobre el
comportamiento de los alumnos mediante observaciones (que fueron volcados
en planillas elaboradas para tal fin) y una encuesta.
Objetivo general
Analizar los datos provenientes de observaciones y de una encuesta
efectuada a los alumnos sobre un hipertexto diseñado referente al método de
Newton-Raphson de aproximación de raíces, con el fin de evaluar el material
y el comportamiento general de los estudiantes ante el uso del mismo.
Marco teórico
Basamos nuestro marco teórico en los aspectos explicados a continuación:
Material educativo con hipertexto
Salinas Ibáñez (1994) define hipertexto como "una tecnología software para
organizar y almacenar información en una base de conocimientos cuyo acceso
es no secuencial, tanto para los autores como para los usuarios". Es una
colección de textos simples relacionados entre sí, a través de los cuales
es posible "desplazarse", ir de uno a otro de manera no lineal, de acuerdo
a la elección del usuario, y haciendo uso de la computadora.
Como indica Muelas (2008), es una red de nodos (que contienen textos) que
se encuentran relacionados, cuya potencialidad se encuentra en la no
secuencialidad y en el hecho de que el usuario puede recuperar la
información de acuerdo a sus intereses, favoreciendo a la exploración de
ideas, el análisis de datos y al estudio comparado. Según esta autora la
navegación a través de un hipertexto es una actividad compleja en la cual
el lector debe elaborar estrategias que se adapten al sistema, demandando
un esfuerzo mayor que la lectura de un texto tradicional. Al respecto,
Ferrín y Guariglia (2007) consideran que la persona además de crear su
propia ruta de lectura, puede sumar sus comentarios, impresiones o
cualquier otra información mientras lee. Los mismos autores agregan que la
importancia del hipertexto radica en el hecho de que existe la posibilidad
de crear un discurso completo a partir de unidades informativas,
aparentemente independientes, pero que contribuyen a formar un pensamiento
completo sin ningún orden preestablecido.
Uso del software en la enseñanza de la matemática
Tall (1989) afirma que la utilización de las nuevas tecnologías generó
cambios metodológicos en la enseñanza de la matemática, y que el uso de
software por parte de los estudiantes le permite a éstos involucrarse más
con actividades de exploración, conjetura, explicación, etc., que son
fundamentales en la enseñanza y aprendizaje particularmente del cálculo
algebraico.
Asimismo destaca que la disponibilidad de computadoras personales con buena
resolución gráfica, ofrecen la posibilidad de incorporación de metodologías
diferentes en el proceso de enseñanza aprendizaje. En otro documento Tall
D. (2000) recalca que el nuevo paradigma tecnológico nos obliga a los
docentes a una reflexión profunda acerca de cuales son los contenidos
matemáticos más necesarios a enseñar, como así también nuestra forma de
organizar el plan de clases.
Aprendizaje autónomo
Aebli (2001) considera que es deseable un aprendizaje autónomo para:
-Aprender más. El docente en cada clase no puede, por razones de tiempo,
orientar todo el aprendizaje que se necesita. El alumno puede aprender algo
por sí mismo: si continúa trabajando independientemente, refuerza sus
conocimientos y experimenta más allá de lo trasmitido en clase.
-Preparación para el siguiente nivel escolar. Uno de los objetivos de cada
nivel escolar es preparar al alumno en ciertas actividades de aprendizaje
que tendrá que hacer por sí solo en el nivel siguiente.
-Preparación al trabajo. Las exigencias laborales actuales exigen una
adaptación permanente por parte de los trabajadores.
Características del material didáctico diseñado
El tema elegido para este dispositivo didáctico es el Método de Newton-
Rasphson para aproximar raíces de ecuaciones. Pretendemos que el alumno sea
capaz, por sí mismo, de comprender cómo se aplica el mencionado método como
una aplicación de la recta tangente a la curva en un punto y/o de los
polinomios de Taylor. Navegando a través de los distintos nodos del
hipertexto, podrá conocer su base teórica, analizar errores y emplearlo en
diversos ejercicios.
Diseñamos la actividad teniendo en cuenta:
El software y los equipos disponibles en la Universidad en la que
desarrollamos nuestra labor docente.
La combinación de textos, gráficos, uso del software Mathematica® y
la posibilidad de navegar por internet.
La opción de fundamentar la fórmula a la que conduce el método
mencionado desde dos opciones diferentes, las que pueden ser elegidas
de acuerdo al interés o a los conocimientos previos del alumno.
La no inclusión del desarrollo de la convergencia cuadrática del
método debido a que está dirigido a alumnos de primer año de
Ingeniería.
La variedad en los ejemplos resueltos y en los ejercicios propuestos.
Los posibles itinerarios que puede recorrer el estudiante. Si bien
existe libertad de navegación, elegimos los enlaces de manera tal que
el recorrido no sea totalmente abierto, contando con cierta guía
implícita que facilite la tarea.
El hipertexto está compuesto por los siguientes nodos:
" Nombre "Breve descripción "Abreviatu"
" " "ra "
"Menú Principal "Brindamos todos los nodos a partir de los "M "
" "cuales se puede empezar a recorrer el " "
" "hipertexto. " "
"Introducción "Presentamos el problema a resolver "I "
" "(solución de ecuaciones) y explicamos en " "
" "forma muy breve en qué consisten los " "
" "diferentes métodos de resolución. " "
"Conocimientos "Definición de ecuaciones algebraicas y "CP "
"previos "trascendentes, ecuación de recta tangente " "
" "a una curva en un punto, polinomio de " "
" "Taylor y término complementario de una " "
" "función en un punto dado, conceptos que el" "
" "alumno debe saber para encarar la " "
" "actividad. " "
"Ejemplo "Búsqueda de la raíz de una ecuación "EI "
"introductorio "determinada, usando software Mathematica® " "
" "y explicando en qué consiste el método de " "
" "una manera intuitiva. " "
"Obtención del "Desarrollo del método a través del "DR "
"algoritmo. "gráfico de la función y la recta tangente " "
"Deducción por "a la curva en un punto cercano a la raíz. " "
"recta "Deducción de la fórmula y sistematización " "
"tangente "del algoritmo. " "
"Obtención del "Derivación del método mediante polinomios "DP "
"algoritmo. "de Taylor y término complementario " "
"Deducción por " " "
"pol. de Taylor " " "
"Ejercicios "Ejercicios resueltos usando software "E "
"resueltos "Mathematica®. " "
"Análisis del "Introducimos la fórmula del error y "AE "
"error "resolvemos ejemplos hallándolo " "
"Ventajas y "Explicamos cuándo es conveniente aplicarlo"VD "
"desventajas "y en qué casos falla. " "
"Ejercicios para "Para que el alumno pueda practicar lo "ER "
"resolver "estudiado. Estos ejercicios pueden servir " "
" "luego para el docente como feedback o " "
" "evaluación de la tarea efectuada. " "
"Otros métodos "Brindamos direcciones de internet donde el"OM "
" "alumno puede explorar otros métodos de " "
" "búsqueda de raíces como el método de la " "
" "secante, método de bisección, entre otros." "
Tabla 1: nodos del hipertexto. Características y abreviatura de cada uno.
Experiencia en clase. Resultados de una encuesta. Observaciones.
Con el objetivo de poner a prueba el entorno hipertextual creado y tener
una experiencia propia de este tipo de recursos, lo implementamos en dos
comisiones de la carrera de Ingeniería de la Universidad Tecnológica
Nacional (regional Haedo), en la cátedra de Análisis Matemático I. De esta
forma, los alumnos de las dos comisiones seleccionadas (una del turno noche
y otra del turno mañana), concurrieron al laboratorio de computación cuyas
máquinas estaban cargadas con el hipertexto mencionado. Participaron 18
alumnos del turno mañana y 14 del turno noche, quienes contaron con la
asistencia de dos profesoras por grupo para atender consultas y orientar la
tarea. Como producción y evaluación de lo indagado, los estudiantes debían
entregar tres ejercicios sobre el método de Newton Raphson resueltos con
software Mathematica. El enunciado de estos ejercicios se encuentra en el
nodo del hipertexto titulado "Ejercicios para resolver".
Durante la primera hora los alumnos no podían consultar al docente a cargo.
Nuestro objetivo era observar el comportamiento de los estudiantes ante el
material nuevo sin intervención.
Los estudiantes trabajaron durante, aproximadamente, tres horas y media. En
ese lapso de tiempo las dos docentes asistentes efectuaron observaciones
utilizando planillas destinadas a tal fin. Además, al finalizar el trabajo,
solicitamos a los alumnos que contesten una encuesta cerrada y anónima
sobre el uso del hipertexto. Algunas preguntas estaban orientadas al
recorrido del hipertexto, otras a la dificultad o no de comprensión de los
nodos y algunas a la percepción que esta forma de trabajo puede suscitar en
el usuario. A continuación damos a conocer, para cada pregunta de la
encuesta, los resultados obtenidos y su relación con los datos recabados en
las planillas de observación.
En cuanto al recorrido propiamente dicho del hipertexto:
Pregunta 1: ¿Por qué nodo comenzaste a recorrer el hipertexto?
Posibles respuestas: el alumno tenía como opciones todos los nodos del
hipertexto.
Resultados:
"CP "Los resultados muestran que la mayoría de los alumnos "
"I "comenzó por el nodo "Introducción", acción observada "
" "también por los docentes. "
"13% " "
"87% " "
" " "
Tabla 2: resultados pregunta 1
Pregunta 2: ¿Cómo considerás el recorrido del hipertexto?
Posibles respuestas: altamente fluido, medianamente fluido, poco fluido,
nada fluido, no sabe.
Resultados:
"Altamente "No obtuvimos como respuestas "nada "
"fluido "fluido" o "no sabe". Respecto a lo "
"Medianamente "observado, encontramos diferentes "
"fluido "actitudes. Algunos alumnos hicieron un "
"Poco "recorrido rápido por todos los nodos y "
"fluido "luego comenzaron con el que les pareció "
" "más claro o interesante, en tanto que "
"44% "otros fueron a un ritmo más lento, "
"50% "deteniéndose un poco más en cada nodo "
"6% "para pasar al siguiente "
" " "
" " "
"Tabla 3: resultados " "
"pregunta 2 " "
Pregunta 3: ¿Utilizaste el nodo "Conocimientos previos"?
Posibles respuestas: si/no.
Resultados:
"Si "La mayoría de los alumnos precisó consultar los "
"No "conceptos y/o propiedades necesarios para poder "
" "comprender la deducción del algoritmo y cómo "
"69% "aplicarlo; lo que muestra la importancia de contar "
"31% "con un nodo como el mencionado. "
" " "
"Tabla 4: " "
"resultados " "
"pregunta 3 " "
Pregunta 4: ¿Cuál nodo no recorriste?
Posibles respuestas: el alumno tenía como opciones todos los nodos del
hipertexto
Resultados:
"VD "El 31% de los alumnos no recorrió el "
"AE "nodo de Ventajas y Desventajas. Los "
"ER "docentes observaron que éste y el nodo "
"DR ""Otros métodos" fueron los menos "
"DP "analizados por los alumnos. "
"CP "Probablemente la falta de tiempo o el "
" "interés fueron factores que influyeron "
"31% "en esta conducta. Este último nodo no se"
"19% "vio reflejado en los resultados de la "
"6% "encuesta. "
"6% " "
"19% " "
"19% " "
" " "
" " "
"Tabla 5: resultados pregunta" "
"4 " "
" " "
En cuanto a la comprensión de los nodos y el método en general, las
preguntas fueron las siguientes:
Pregunta 5: ¿Qué nodo te resultó más fácil de comprender?
Posibles respuestas: el alumno tenía como opciones todos los nodos del
hipertexto.
Resultados:
" "Los nodos que resultaron de menor "
"I "dificultad para los alumnos fueron la "
"DR "Introducción y la Deducción del "
"CP "algoritmo a través de la recta tangente."
"E "El porcentaje de este último es "
"EI "alentador, ya que a través del mismo se "
"DP "comprendía la base teórica del método. "
" " "
"31% " "
"31% " "
"6% " "
"13% " "
"13% " "
"6% " "
" " "
"Tabla 6: resultados pregunta" "
"5 " "
Pregunta 6: ¿Qué nodo te resultó más difícil de entender?
Posibles respuestas: el alumno tenía como opciones todos los nodos del
hipertexto.
Resultados:
"OM "El nodo que resultó de mayor dificultad para los "
"AE "alumnos fue la Deducción del algoritmo utilizando "
"DP "Polinomios de Taylor. No nos sorprende este "
" "resultado ya que, por la experiencia docente en la "
"6% "cátedra, sabemos que es un tema de alta complejidad "
"19% "para los estudiantes. "
"75% " "
" " "
"Tabla 7: " "
"resultados " "
"pregunta 6 " "
Pregunta 7: ¿A través de cuáles de los siguientes nodos pudiste comprender
cómo funciona el algoritmo?
Posibles respuestas: el alumno tenía como opciones los nodos: DR, DP, E,
EI.
Resultados:
" "El nodo "Deducción a través de la recta tangente" "
" "fue el elegido por la mayoría de los estudiantes "
" "para estudiar la base teórica del algoritmo, en "
"DR "tanto que pocos alumnos utilizaron el nodo "
"DP "relacionado con la deducción a través de "
"EI "polinomios de Taylor, resultados que coinciden con"
"E "lo observado por los docentes. Los profesores "
" "notaron que se presentaron dificultades en el "
"38% "discernimiento entre el algoritmo y la deducción "
"6% "del mismo. Es decir, cada vez que los estudiantes "
"25 "hacían un ejercicio volvían a deducir toda la "
"31% "fórmula, en vez de usarla en forma iterada "
" " "
"Tabla 8: " "
"resultados " "
"pregunta 7 " "
Pregunta 8: ¿Cuáles de estas acciones realizaste junto al recorrido del
hipertexto?
Posibles respuestas: Resumir el contenido; Hacer deducciones en lápiz y
papel; Consultar la carpeta de clase; Utilizar el software para comprobar
algún resultado; Hacer preguntas al profesor; Realizar un esquema o cuadro
de síntesis; ninguna acción.
Resultados:
"Resumir "De acuerdo a las observaciones efectuadas"
"Lápiz y "por los docentes, la mayoría exploró el "
"papel "hipertexto aproximadamente una hora y "
"Utilizar "luego comenzó a trabajar resumiendo la "
"software "información, o copiando la fórmula en un "
" "texto, o usando el programa Mathematica. "
"31% "En el turno mañana tomaron apuntes en "
"6% "lápiz y papel al comienzo de la "
"13% "actividad, en tanto que en el turno noche"
" "lo hicieron a partir de la indicación del"
"Preguntas al "docente. En general el trabajo de "
"profesor "indagación y exploración estuvo orientado"
"Realizar "al cumplimiento de la consigna de la "
"esquema "actividad que debían entregar. "
"Ninguna " "
" " "
"25% " "
"13% " "
"13% " "
" " "
" " "
" " "
"Tabla 9: resultados " "
"pregunta 8 " "
En cuanto a las preguntas orientadas a la percepción de los alumnos al
trabajar con este material, tenemos:
Pregunta 9: Al usar este material, te sentiste:
Posibles respuestas: altamente motivado, medianamente motivado, poco
motivado, nada motivado.
Resultados:
"Alta "Los docentes observaron, en general, buena "
"Mediana "predisposición al trabajo. Cabe aclarar que, si bien "
" "la tarea era individual, ya que la cantidad de "
"44% "máquinas así lo permitieron, hubo colaboración entre "
"56% "pares, lo que estimula también la participación. "
" "Observemos que no hubo respuestas sobre poca o ninguna"
"Tabla 10: "motivación. "
"resultados " "
"pregunta 9 " "
Pregunta 10: ¿Te resultó interesante trabajar con este tipo de material?
Posibles respuestas: si/no
Resultados:
"si "Una amplia mayoría considera interesante trabajar"
"no "con el material hipertextual. Recordemos que la "
" "encuesta era anónima, por lo que los alumnos se "
"94% "podían expresar con total libertad. "
"6% " "
" " "
"Tabla 11: " "
"resultados pregunta" "
"10 " "
Pregunta 11: En general esta forma de estudio te resulta:
Posibles respuestas: Más sencilla que la asistencia a clases expositivas;
Más complicada que la asistencia a clases expositivas; Me da lo mismo; No
sabe o no contesta.
Resultados:
"Complicada "Al finalizar la experiencia, como primer "
"Sencilla "comentario generalizado, los alumnos "
"Mismo "reconocieron que el estudio con este tipo de"
" "materiales demanda mayor esfuerzo al que "
"19% "están acostumbrados, por lo que nos extrañan"
"62% "los resultados obtenidos en la encuesta. "
"19% " "
" " "
"Tabla 12: resultados " "
"pregunta 11. " "
Conclusiones
De acuerdo al objetivo planteado, la experiencia, los resultados de la
encuesta y de las observaciones efectuadas por los docentes nos permitieron
llegar a las siguientes conclusiones.
Sobre el material:
El diseño del hipertexto tiene demasiados nodos lo que podría producir
"saturación cognitiva" (Grau y Muelas, 2008), es decir, la riqueza de
todo el material pone en riesgo la pérdida del rumbo marcado por los
objetivos.
Prescindir de los nodos "Ventajas y Desventajas", "Otros métodos" y
"Obtención del algoritmo. Deducción por polinomios de Taylor", acota
el material, beneficiando la fluidez del recorrido, acentuando así la
comprensión del método y su aplicación práctica.
El nodo "Conocimientos Previos" es de total importancia para repasar
conceptos y/o propiedades necesarias para comprender el tema.
Nodos como "Obtención del algoritmo. Deducción por recta tangente";
"Ejemplo introductorio"; "Ejercicios resueltos" fueron comprendidos
por la mayoría de los estudiantes, por lo que no necesitan ser
reformados.
Sobre las actitudes de los alumnos:
El uso de estos dispositivos didácticos lleva un tiempo de
entrenamiento. A pesar de que los alumnos están acostumbrados a
utilizar internet, desplegar diferentes ventanas, conectarse de un
sitio a otro, a la hora de usar esa "conectividad" en un recurso que
les permite construir conocimiento formal, se sienten desorientados.
Este tipo de materiales aumenta considerablemente la motivación en el
alumnado, logrando que abandonen la actitud pasiva de una clase
expositiva tradicional.
El hipertexto "obliga" a los estudiantes a desplegar estrategias de
manejo de información como resumir, realizar esquemas o cuadros,
analizar; lo que es sumamente importante para lograr un aprendizaje
autónomo e independiente. En el caso particular de este hipertexto
estas estrategias se vieron orientadas al cumplimiento de la
ejercitación a ser presentada como producción.
Como reflexión final exponemos que esta experiencia no sólo nos sirvió para
evaluar el material diseñado, en vistas a una optimización de su diseño;
sino también, y quizás más importante, percibir la motivación e interés que
manifiesta la mayoría del alumnado ante el uso de estos recursos. Esto nos
invita a combinar nuestras clases expositivas tradicionales con materiales
diseñados especialmente para promover un aprendizaje autónomo e
independiente.
Bibliografía
Aebli, Hans. (2001). "Factores de la enseñanza que favorecen el aprendizaje
autónomo". España: Editorial Narcea.
Ferrín, T. y Guariglia, J. D. (2007). El hipertexto en la estructuración de
las noticias digitales de El Nacional y El Universal (versión
electrónica(. Temas de comunicación, 15, 103-131.
Grau, J. y Muelas, E. (2008). Módulo 5: sistemas hipermediales. Primera
parte. Material utilizado en el Seminario "Material Didáctico"
correspondiente a la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y
Naturales de la UNCo.
Muelas, E. (2008). Guía para el diseño de sistemas hipermediales. Material
utilizado en el Seminario "Material Didáctico" correspondiente a la
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales de la UNCo.
Salinas Ibáñez, Jesús. (1994). "Hipertexto e hipermedia en la enseñanza
universitaria", Pixel-Bit: Revista de medios y educación, Nº 1.
Recuperado el 17 de junio de 2010 de
http://www.sav.us.es/pixelbit/pixelbit/articulos/n1/n1art/art12.htm
Tall, D. (1989). New Cognitive Obstacles in a Technological Paradigm.
Recuperado el 10 de enero de 2011 de:
http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1989b-cog-obst-
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Tall, D. (2000). Cognitive Development in Advanced Mathematics Using
Technology. Mathematics Education Research Journal. Vol.12 (3), 210-
230. Recuperado el 10 de noviembre de 2010 de:
http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf
