´ lculo Diferencial Ca CSAI81-14I
Gu´ıa del curso
S. Arellano Balderas y J. Cruz Sampedro
´Indice Introducci´ on a los cursos CSAI81 Bienvenido al SAI . . . . . . . . . . . Profesores . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Qu´e es el SAI? . . . . . . . . . . . . . ¿Qu´e no es el SAI? . . . . . . . . . . . ¿C´ omo se aprende c´ alculo en CSAI81? ¿Qu´e tengo que hacer? . . . . . . . . . Gu´ıa y libro de texto . . . . . . . . . .
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Informaci´ on general del curso Objetivos . . . . . . . . . . . . Profesores y tutores . . . . . . Horario de atenci´ on y asesor´ıas Gu´ıa y libro te texto . . . . . . Ex´ amenes y tareas . . . . . . . Criterios de evaluaci´ on . . . . . Comportamiento . . . . . . . . Recomendaciones . . . . . . .
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C´ alculo Diferencial 1. Reglas de derivaci´ on Objetivo . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . Actividades . . . . . . . . . Tarea de la unidad 1 . . . . Ejercicios complementarios
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2. La regla de la cadena y derivadas impl´ıcitas Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarea de la unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . .
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extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Tasas relacionadas, linealizaci´ on Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . Tarea de la unidad 3 . . . . . . . . . Ejercicios complementarios . . . . .
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valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Primer examen integrador Objetivo . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . Actividades y tarea . . . . . . . Tarea de la unidad 4 . . . . . .
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5. Monoton´ıa, concavidad y trazado de gr´ aficas Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarea de la unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . .
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6. Optimizaci´ on aplicada Objetivo . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . Actividades . . . . . . . . . Tarea de la unidad 6 . . . . Ejercicios complementarios
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7. Segundo examen integrador Objetivo . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . . Actividades y tarea . . . . . . . . Tarea de la unidad 7 . . . . . . .
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exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8. Funciones logar´ıtmicas y Objetivo . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . Actividades . . . . . . . . . Tarea de la unidad 8 . . . . Ejercicios complementarios
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9. Trigonom´ etricas inversas. Regla de L’Hˆ opital y polinomios Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tarea de la unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10. Evaluaci´ on global Objetivo . . . . . . . . . . Contenido . . . . . . . . . Indicadores de evaluaci´ on Actividades y tarea . . . . Tarea de la unidad 10 . .
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Formulario de c´ alculo CSAI81 Per´ımetros, ´ areas y vol´ umenes . . . . . . . . Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de logaritmos y exponenciales . Reglas b´ asicas de derivaci´ on . . . . . . . . . F´ ormulas b´ asicas de integraci´on . . . . . . .
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Introducci´ on a los cursos CSAI81 “No hay genios en este mundo, todo es trabajo tenaz, el uno por ciento es inspiraci´on y el noventa y nueve transpiraci´on.” Thomas Alva Edison (1847-1931)
Bienvenido al SAI Los profesores de los cursos CSAI81 de Introducci´on al C´alculo y C´alculo Diferencial del Sistema de Aprendizaje Individualizado (SAI), te damos la m´as cordial bienvenida y te deseamos una placentera y exitosa experiencia. Ambos profesores tenemos el compromiso de brindarte todo el apoyo para que aprendas c´alculo en un ambiente cordial, responsable y respetuoso, en el que goces de plena libertad y confianza para trabajar activamente: dialogando, preguntando, argumentando, proponiendo soluciones y resolviendo tus dudas.
Profesores Para que tengas un horario amplio de atenci´on y asesor´ıas en SAI, los profesores Salvador Arellano Balderas y Jaime Cruz Sampedro trabajan en equipo: elaboran conjuntamente las gu´ıas ´ biles del trimestre, de 14:30 a y ex´ amenes y atienden a los alumnos todos los d´ıas ha 17:30 hrs.
¿Qu´ e es el SAI? El SAI es un sistema de aprendizaje de constante cooperaci´on y di´alogo individual entre profesores y alumnos. Esta modalidad de ense˜ nanza fue propuesta en 1968 por el profesor Fred S. Keller de la Universidad de Arizona en su art´ıculo: Good bye, teacher ... 1 . Los cursos en este sistema se dividen en unidades adecuadas para que estudies de manera independiente y aprendas a tu ritmo, apoyado con abundante asesor´ıa individual por parte de tus instructores. En el SAI no asistes a clases pero debes asistir regularmente a asesor´ıa e interactuar continuamente con tus maestros. ¡Cuidado!, aprender a tu ritmo no quiere decir estudiar solamente al final del trimestre.
¿Qu´ e no es el SAI? No es un sistema de aprendizaje autodidacta ni de ense˜ nanza abierta. Tampoco es un sistema de cursos en l´ınea ni de educaci´ on virtual o a distancia. No es una reguladora ni un sistema de clases particulares. 1 Keller, F., Good bye, teacher ..., Journal of http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1310979/
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Applied
Behavior
Analysis,
1968,
I,
79-89.
¿C´ omo se aprende c´ alculo en CSAI81? En CSAI81 aprender´ as c´ alculo realizando las actividades que se especifican en la gu´ıa del curso, con asesor´ıa y apoyo permanente de tus profesores. La gu´ıa te indica paso a paso qu´e materiales debes estudiar y qu´e ejercicios debes resolver en cada unidad, hasta cubrir todos los temas del curso. Los profesores supervisar´an tus avances y te brindar´an toda la asesor´ıa que necesites para resolver tus dudas hasta que te sientas listo para presentar tus ex´ amenes. Nuestro m´ etodo de ense˜ nanza se funda esencialmente en: 1. Abundante asesor´ıa individual: para que resuelvas tus dudas, profundices en los temas, fortalezcas tu independencia y prepares tus ex´amenes. 2. Evaluaci´ on de tareas y ex´ amenes en tu presencia: en CSAI81 todas tus tareas y ex´amenes se califican en tu presencia para que afirmes tus aciertos e inmediata y oportunamente detectes tus errores y resuelvas tus dudas. ´n 3. Numerosas oportunidades para aprobar las unidades del curso: si no te va bien en algu examen, en CSAI81 te resolvemos tus dudas, te asignamos tareas para que repases y te damos oportunidad de presentar otro examen de la misma unidad, hasta que apruebes. A este proceso se le llama reciclar. 4. Flexibilidad para que aprendas y progreses a tu propio ritmo: en CSAI81 puedes terminar un curso y empezar con el siguiente o puedes reanudar el curso en donde te quedaste y completarlo en dos trimestres: ´ lculo en CSAI81 puede ser lento, ¡pero es seguro! Estudiar ca Una de nuestras metas fundamentales es que desarrolles tu autodisciplina, seguridad e independencia para alcanzar tus metas acad´emicas y profesionales. En los cursos CSAI81 queremos convencerte que ´ tica no es un juego de espectadores! ¡La matema y que
´ puedes jugarlo exitosamente! ¡tu
¿Qu´ e tengo que hacer? Descargar e imprimir la gu´ıa del curso. Leer cuidadosamente la informaci´on del curso para el trimestre 14I y familiarizarte con los horarios de atenci´ on y los criterios de evaluaci´ on. Conseguir el libro de texto y estudiarlo de acuerdo al plan trazado en la gu´ıa. ¡Asistir al SAI a asesor´ıa cada vez que tengas dudas! Entregar la tarea de la primera unidad correctamente resuelta. Presentar tu examen y continuar trabajando bajo la constante supervisi´on de tus profesores.
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Gu´ıa y libro de texto “Sin entusiasmo nunca se logr´o nada grandioso” Emerson (1803-1882)
El ´exito en el estudio de las matem´aticas requiere de entusiasmo, dedicaci´ on y organizaci´ on. El entusiasmo y la dedicaci´ on son tu responsabilidad pero una buena organizaci´on requiere de una gu´ıa, un libro de texto y supervisi´on, orientaci´on y apoyo por parte de tus profesores. El prop´ osito de la gu´ıa es proveerte un plan de trabajo para que estudies organizadamente y asimiles en un trimestre los contenidos del curso de C´alculo Diferencial. El libro de texto es: ´ CALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on. Para que tu aprendizaje progrese de manera ordenada y sistem´atica, as´ı como para facilitar la supervisi´ on de tus avances, cada curso se ha dividido en diez unidades. Cada unidad establece su contenido, sus objetivos y las actividades que debes realizar para preparar los correspondientes ex´ amenes. En cada unidad se detallan los indicadores de evaluaci´ on, es decir, los temas y habilidades relevantes en las evaluaciones de la unidad. Presta especial atenci´on a esos indicadores porque en gran medida te sugieren el tipo de problemas y preguntas que encontrar´ as en los ex´ amenes. ¡Imprime la gu´ıa y adquiere el libro de texto! Es muy importante que dispongas de estos materiales durante todo el trimestre porque –sumados a tu dedicaci´on y al apoyo de tus instructores– ser´ an los principales soportes de tu aprendizaje de c´alculo en CSAI81.
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Informaci´ on general del curso “Donde se cuentan mil zarandajas, tan impertinentes como necesarias para el entendimiento de esta grande historia” Miguel de Cervantes (1547-1616) A continuaci´ on encontrar´ as informaci´on fundamental para el desarrollo de tu trabajo en el curso de C´ alculo Diferencial CSAI81. Es muy importante que prestes especial atenci´on a los objetivos del curso, los criterios de evaluaci´ on y las reglas de comportamiento.
Objetivos En este curso estudiar´ as los conceptos y m´etodos fundamentales del c´alculo diferencial de funciones de una variable. Los objetivos generales son: Aplicar el concepto de derivada para obtener y analizar la gr´afica de una funci´on de una variable. Aplicar el concepto de derivada para resolver problemas de raz´on de cambio y optimizaci´ on de inter´es en la ingenier´ıa.
Profesores y tutores Profesores Titulares: Dr. Salvador Arellano Balderas,
[email protected]
Dr. Jaime Cruz Sampedro,
[email protected]
Ambos profesores tienen plena disposici´on para darte asesor´ıa, as´ı como de recibir y atender todos tus comentarios, inquietudes y dudas referentes al curso. Los profesores titulares son responsables de elaborar la gu´ıas, ex´amenes y dem´as materiales de apoyo para este curso; cualquiera de ellos, sin importar con cual de los dos est´es inscrito, puede supervisar y evaluar tu desempe˜ no. Probablemente habr´a un profesor ayudante para este curso.
Horario de atenci´ on y asesor´ıas Horario. Todos los d´ıas h´ abiles del trimestre, de 14:30 a 17:30 hrs., en el Aula E204. Asesor´ıas. Puedes asistir a asesor´ıa tantas veces como quieras pero es necesario que hayas estudiado el material del libro de texto que se indica en la gu´ıa. Procura que tus preguntas sean concretas y bien formuladas y ¡pierde el miedo a tus profesores! ; recuerda que est´ an para ayudarte a resolver tus dudas. Si necesitas asesor´ıa adicional, p´ıdela a cualquiera de tus profesores o acude al Centro de Matem´ aticas: E201.
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Gu´ıa y libro te texto La gu´ıa del curso est´ a basada en el libro de texto ´ CALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on. Este es el texto marcado en el programa oficial del curso. Es indispensable que dispongas de una copia (impresa o electr´ onica) de este libro y de la gu´ıa del curso.
Ex´ amenes y tareas Una de las actividades m´ as importantes para que aprendas y domines los temas del curso es hagas las tareas. Por esta raz´ on, un requisito indispensable para la evaluaci´on de cada unidad es que entregues la tarea completa, bien escrita, correctamente resuelta, bien engrapada y en limpio. 1. Para solicitar evaluaci´ on es necesario que: Tu tarea tenga el Vo. Bo. de uno de los profesores del curso. Hayas aprobado todas las unidades anteriores. Para realizar tu examen dispongas de TRES hojas engrapadas tama˜ no carta, sin flecos y que no sean de re-uso. 2. Al recibir tu examen, aseg´ urate de firmar el registro de ex´amenes y que el responsable de la sala de ex´ amenes registre tu examen en tu expediente. 3. Al terminar tu examen, debes pasar con uno de los profesores del curso para que te califique. Aseg´ urate que tu calificaci´on quede registrada en tu expediente. 4. Copiar ´ o dejar copiar en los ex´ amenes es un delito acad´ emico grave porque fomenta la corrupci´ on y la mediocridad. Por este motivo, si se te sorprende copiando o dejando copiar reciclar´ as el examen. Si reincides recibir´ as NA en el curso, sin opci´ on para concluirlo en el SAI. 5. En los ex´ amenes de este curso no se permite usar el libro de texto ni formularios personales. Si te hace falta, puedes solicitar a uno de tus profesores el Formulario de C´ alculo del SAI.
Criterios de evaluaci´ on 1. Para pasar el curso debes aprobar las diez unidades que se especifican en esta gu´ıa. 2. Las calificaciones de las unidades 1, 2, 3, 5, 6, 8 y 9 ser´an cualitativas (A de aprueba o R de recicla). 3. Las calificaciones de las unidades: 4, 7 y 10 ser´an num´ericas (de 6 a 10) si apruebas o R si reciclas. 4. Para evaluar tu desempe˜ no en el curso, tus calificaciones de las unidades 4, 7 y 10 se ponderar´ an de la siguiente manera: Unidad 4: 25 %,
Unidad 7: 35 %,
Unidad 10: 40 %.
Si x denota tu calificaci´ on num´erica, tu calificaci´ on final estar´a dada por M B, si 9 ≤ x ≤ 10, F (x) = B, si 7.5 ≤ x < 9, S, si 6 ≤ x < 7.5. 9
5. Puedes mejorar tu calificaci´on final someti´endote a otro examen global. 6. Si para el u ´ltimo d´ıa de evaluaciones del trimestre no has aprobado el curso tu calificaci´ on final ser´ a NA, pero podr´ as avanzar o terminar en la semana de ex´amenes de recuperaci´ on. 7. Nota importante: Te sugerimos inscribirte al examen de recuperaci´ on solamente si has aprobado ocho unidades del curso. 8. Si no terminas el curso en el trimestre normal, puedes aprovechar el periodo de ex´amenes de recuperaci´ on para avanzar en el curso. 9. Si no apruebas el curso en tu primera oportunidad en SAI pero cuentas con cinco unidades aprobadas, en el siguiente trimestre puedes reanudar el curso a partir de donde te quedaste, pero debes concluirlo. 10. Importante para los oyentes: todos los oyentes deben aprobar el curso en un trimestre y, para no perder su registro, deben aprobar cuatro unidades en las primeras cinco semanas del trimestre.
Comportamiento Por respeto a tu Alma Mater y al trabajo de los dem´as: No da˜ nes el mobiliario. El estudiante de este curso que sea sorprendido da˜ nando el mobiliario recibir´ a NA en el curso, sin opci´ on para concluirlo en el SAI, y ser´ a reportado al Coordinador. En el sal´ on de ex´ amenes y en el ´area de atenci´on del SAI, controla tu lenguaje, modera el volumen de tu voz y apaga tu celular, iPod, iPad, iPhone, smartphone, gadget, etc. Los profesores se reservan el derecho de suspender la asesor´ıa o el examen a los estudiantes que violen esta norma.
Recomendaciones “Ser consciente de la propia ignorancia es un gran paso hacia el saber.” Benjamin Disraeli (1804-1881) 1. ¡Comprom´etete con tu educaci´on y asume tu papel de estudiante con responsabilidad, entusiasmo y dedicaci´ on! 2. Adquiere la disciplina de trabajar al menos dos horas diarias para este curso. Te recomendamos hacerlo en las instalaciones del SAI. Aprende a trabajar solo y en equipo. 3. Antes de intentar los ejercicios, estudia detenidamente en tu libro de texto los temas que se indican en la gu´ıa. 4. Esfu´erzate por aprender a manipular expresiones algebraicas y a calcular correctamente con rapidez, precisi´ on e ingenio. 5. Aprende a distinguir las ideas importantes en las soluciones de los problemas y ejercicios y a reproducirlas sin ayuda. 6. Razona detenidamente todos los problemas que se te asignan en la gu´ıa; int´entalos muchas veces y ¡no tengas miedo a equivocarte! Se aprende mucho de los errores; ¡lo malo es quedarse con las dudas!
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7. La mejor manera de saber si est´as entendiendo un tema de matem´aticas es tratando de resolver los problemas sin ayuda. Int´entalos y si tienes dificultades, disc´ utelas con tus compa˜ neros o ¡ven al SAI para que te demos asesor´ıa! Tambi´en puedes pedir asesor´ıa en el Centro de Matem´ aticas. 8. Es muy importante para tu formaci´on profesional que adquieras el h´abito de reportar tu trabajo bien presentado; escrito en forma clara, concisa y ordenada, con tus propias palabras, con buena ortograf´ıa y utilizando correctamente la notaci´ on matem´ atica, con diagramas y gr´ aficas bien hechas. 9. Adquiere el h´ abito de criticar y mejorar permanentemente tu trabajo. 10. Aprende a usar el formulario, tu calculadora, Maple, SAGE, Matlab o Mathematica (Maple 5 y SAGE son software libre; Mathematica est´ a disponible en el Edif. T y en las computadoras del SAI).
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C´ alculo Diferencial “Il libro della natura ´e scritto in lingua matematica.”
Galileo Galilei (1564-1642)
“El gran libro de la naturaleza permanece siempre abierto ´ ginas se encuentra la verante nuestros ojos y en sus pa dadera filosof´ıa ... Pero no nos es posible leerlo a menos que conozcamos los caracteres y el lenguaje en el que ´ escrito ... Esta ´ escrito en lenguaje matema ´ tico y los esta ´ ngulos, c´ırculos y otras figuras geocaracteres son tria ´tricas.” me Galileo Galilei (1564-1642)
“A esa lista de caracteres, hoy en d´ıa le agregar´ıamos las derivadas y las integrales.” Peter Lax (1926-)
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Unidad 1
Reglas de derivaci´ on Objetivo Aplicar las reglas de derivaci´ on de potencias, sumas, productos, cocientes y de funciones trigonom´etricas en el c´ alculo de derivadas.
Contenido 1. Reglas de derivaci´ on: potencias, sumas, productos y cocientes. 2. Derivadas de orden superior. 3. Derivadas de funciones trigonom´etricas. 4. Aplicaci´ on de derivadas para estudiar situaciones en contextos reales.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Usar las reglas de derivaci´on de potencias, sumas, productos y cocientes para calcular derivadas de primer orden. 2. Calcular derivadas de funciones trigonom´etricas. 3. Calcular derivadas de orden superior. 4. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´afica de una funci´on en uno de sus puntos. 5. Identificar gr´ afica y algebraicamente los intervalos de derivabilidad de una funci´on. 6. Dada la posici´ on de un objeto que se mueve en l´ınea recta, determinar su velocidad y aceleraci´ on en cada instante.
Actividades 1. Estudia las secciones 3.3 y 3.5 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar poco a poco el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Resuelve y entrega la tarea de la unidad 1, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 1.
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Tarea de la unidad 1 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Calcula la derivada de las siguientes funciones: (a)
y = 2x5 − x2 + 1,
(b)
√ y = 7x−5/3 − 2 5 x,
(c)
√ 3 y = 3 x2 −
3 . x2/3
2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones usando reglas de derivaci´on: √ √ √ x+1 3 3 2/3 5 3 (a) y = x (x − 5 x), (b) y = x sen x, (c) y = x− √ . x+2 x 3. Calcula la primera y la segunda derivadas de las siguientes funciones: (a) y = x3 − x2 ,
(b) y =
t+1 , t−1
(c)
y=
x+1 . x2 + x + 1
4. Encuentra la ecuaci´ on de las rectas tangente y normal a cada una de las gr´aficas de las siguientes funciones en los puntos dados: √ (a) y = 2x − x2 , (1, 1); (b) y = x, (4, 2). Esboza la gr´ afica de cada una de estas funciones, conjuntamente con las rectas tangente y normal en los puntos dados. 5. Calcula la primera y la segunda derivada de las siguientes funciones: (a) y = cos θ − 5 sen θ,
(b)
y=
√
x tan x;
(c) y =
cos t . 1 − sen t
6. Calcula la primera, la segunda y la tercera derivadas de las siguientes funciones: (a)
y = x3 − 5x2 + 3x − 1,
(b)
y = x2 sen x;
(c) y =
tan θ . sec θ − 1
7. Utiliza las reglas de derivaci´on para decidir, sin calcular las derivadas, en qu´e intervalos son derivables las siguientes funciones: √ √ 5 √ x2 − 1 cos t (a) y = − 4 − x, (b) y = ; (c) y = . x 9 − x2 sen t 8. Encuentra la ecuaci´ on de las rectas tangente y normal a cada una de las gr´aficas de las siguientes funciones en los puntos dados: √ y = 4 sen x, (π/4, 2 2); y = 3 tan x, (π/4, 3). Esboza la gr´ afica de cada una de estas funciones, conjuntamente con las rectas tangente y normal en los puntos dados. 9. Esboza la gr´ afica de y = cos x sen x y determina gr´afica y anal´ıticamente los puntos en los que la tangente a la gr´ afica es horizontal. 10. Si la posici´ on de una part´ıcula en el eje y est´a dada por y = 5 sen t cos t, encuentra: Su posici´ on, velocidad y aceleraci´on en los instantes t = 0, t = π/4 y t = π. Los instantes en los que la velocidad vale cero. Los instantes en los que la aceleraci´on es nula.
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Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 3.3: 1, 4, 7,..., 28, 29, 32, 33, 36, 39, 40, 43, 45 y 46. Secci´ on 3.5: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31, 34, 35, 38, 47, 48, 53 y 54.
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Unidad 2
La regla de la cadena y derivadas impl´ıcitas Objetivo Usar la regla de la cadena para calcular derivadas de funciones expl´ıcitas e impl´ıcitas.
Contenido 1. La regla de la cadena. 2. Diferenciaci´ on de funciones impl´ıcitas.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Usar la regla de la cadena para calcular derivadas. 2. Calcular derivadas de funciones impl´ıcitas. 3. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto dado de una curva definida impl´ıcitamente.
Actividades 1. Estudia las secciones 3.6 y 3.7 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Resuelve y entrega la tarea de la unidad 2, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 2.
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Tarea de la unidad 2 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Usa la regla de la cadena para calcular las derivadas de las siguientes funciones: q √ 5 3 7 (a) y = (1 + 2x − x ) , (b) y = r2 − r. 2. Emplea la regla de la cadena para calcular las derivadas de las siguientes funciones: 4 sen θ 2 (a) y = , (b) y = cos t2 + . 1 + cos θ t 3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: p 4 (b) y = πx sen(3x2 ). (a) y = 3x2 2 − x3 , 4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: p (a) y = (1 − θ2 )3 2θ3 + 1,
(b) y =
5 sen θ2 √ . 1 + cos θ
5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: √ !2 q √ 1− θ 3 , (b) y = θ + sen2 ( θ). (a) y = 2 sen(θ ) 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: p 3 y = π sen2 (sec(5t3 )) − 4 tan2 cos 5t2 + 1 . 7. Utiliza derivaci´ on impl´ıcita para calcular y 0 si (a)
x3 + y 2 = 2xy,
(b)
√
x + y = xy.
8. Utiliza derivaci´ on impl´ıcita para calcular y 0 si (a)
x2/3 + y 2/3 = cos(xy),
(b) xy 2 =
sen(x − y) . cos(x + y)
9. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos dados: ! √ 3 1 4 2 2 , ; (b) y 2 (2 − x) = x3 , (1, 1). (a) y = y − x , 4 2 10. La posici´ on y(t) de una part´ıcula est´a dada impl´ıcitamente por t2 (t − y)2 = t2 − y 2 . Encuentra su velocidad en t = 1 si se sabe que y(1) = 1.
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 3.6: 1, 4, 7,..., 76. Secci´ on 3.7: 2, 5, 8, 11,..., 44.
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Unidad 3
Tasas relacionadas, linealizaci´ on y valores extremos Objetivo Aplicar la derivada para resolver problemas de tasas relacionadas, aproximaciones lineales y valores extremos.
Contenido 1. Problemas de tasas relacionadas. 2. Linealizaci´ on y diferenciales. 3. Puntos cr´ıticos y valores extremos locales y absolutos de una funci´on.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Usar la derivada para resolver problemas de tasas relacionadas. 2. Encontrar la aproximaci´ on lineal est´andar y estimar los valores de una funci´on alrededor de un punto dado. 3. Usar la aproximaci´ on lineal est´andar para estimar funciones en contextos reales. 4. Utilizar la notaci´ on de Leibniz para calcular derivadas. 5. Utilizar la aproximaci´ on diferencial para estimar el cambio de una funci´on derivable alrededor de un punto dado. 6. Determinar gr´ aficamente los valores m´aximo y m´ınimo locales (relativos) de una funci´ on. 7. Determinar gr´ aficamente los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de una funci´on continua en un intervalo. 8. Determinar los puntos cr´ıticos de una funci´on. 9. Determinar gr´ afica y anal´ıticamente los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de una funci´ on en un intervalo cerrado finito dado.
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Actividades 1. Estudia las secciones 3.8, 3.9 y 4.1 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar poco a poco el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 3, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 3.
Tarea de la unidad 3 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Dos personas parten del mismo punto, una hacia el oeste a 30 km/hr y la otra hacia el sur a 20 km/hr. ¿Con qu´e rapidez cambia la distancia entre ambas despu´es de 3 minutos? 2. Una ni˜ na vuela un cometa a 80 m de altura. Si el viento aleja horizontalmente el cometa a 10 m/seg, ¿qu´e tan r´ apido debe soltar la cuerda cuando el cometa se encuentra a 100 m de ella? 3. Determina la linealizaci´ on de f (x) en los puntos dados. (a) f (x) = x2 − x,
a = 2;
(b) f (x) = sen x,
a=
π . 3
Enseguida, esboza las gr´ aficas de estas funciones con sus correspondientes linealizaciones en los puntos dados. 4. Utiliza aproximaciones lineales para obtener, sin calculadora, un valor aproximado de √ (a) 17; (b) (28)2/3 ; (c) tan(70◦ ). ¿En cu´ antos decimales coinciden las aproximaciones con los resultados que se obtienen directamente de tu calculadora? 5. Una carretera recta cruza perpendicularmente un r´ıo, tambi´en recto, a trav´es de un puente de 100 m de altura. Un barco que se encuentra a 5 km se acerca al puente a 20 km/h y un autom´ ovil que se encuentra a 30 km se acerca al puente a 90 km/h. Determine a) La distancia entre el barco y el autom´ovil cinco minutos antes de que el barco pase debajo del puente. b) El instante en el que la distancia entre el barco y el autom´ovil es la menor posible. c) La velocidad con la que se acercan el barco y el autom´ovil cuando el autom´ovil pasa sobre el r´ıo. 6. Utiliza la notaci´ on de Leibniz para calcular las derivadas de las siguientes funciones: √ (a) y = x(1 + x)1/2 ; (b) y = x sen 5x; (c) y = tan(x − x). √ 7. Utiliza linealizaci´ on para estimar el cambio en el ´area A = πr2 + πr r2 + 4 de un cono circular recto de radio r y altura 2, cuando el radio pasa de 2 a 2 + ∆r. 19
8. Encuentra los puntos cr´ıticos y determina los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de las siguientes funciones: (a) y =
x ; x2 + 1
(b) y = cos 3x.
(b) y =
1 . x2 − 2x + 1
Usa esta informaci´ on para esbozar las gr´aficas. 9. Determina los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de las siguientes funciones e indica los puntos en donde se alcanzan: y = x2 − 3x + 1, −2 ≤ x ≤ 7;
y = x − 2 cos x, 0 ≤ x ≤ 2π;
y = (x − 2)2/3 , −2 ≤ x ≤ 5.
Usa esta informaci´ on para esbozar las gr´aficas. 10. La altura de un cuerpo que se mueve verticalmente est´a dada por h = −5t2 + 4t + 3, con h en metros y t en segundos. Encuentra la altura m´axima de ese cuerpo.
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 3.8: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 y 32. Secci´ on 3.9: 1, 3, 4, 7, 9, 12, 14, 15, 17, 20, 23, 26, 29 y 32. Secci´ on 4.1: 3, 6, ..., 63.
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Unidad 4
Primer examen integrador Objetivo Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras tres unidades del curso.
Contenido El contenido de esta unidad es el de las tres unidades anteriores.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Aplicar las reglas b´ asicas de derivaci´on: potencias, sumas, productos, cocientes, funciones trigonom´etricas, regla de la cadena y funciones impl´ıcitas, para calcular derivadas de primer orden y de orden superior. 2. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´afica de una funci´on en uno de sus puntos. 3. Identificar gr´ afica y algebraicamente los intervalos de derivabilidad de una funci´on. 4. Dada la posici´ on de un objeto que se mueve en l´ınea recta, determinar su velocidad y aceleraci´ on instant´ aneas. 5. Usar la derivada para resolver problemas de tasas relacionadas. 6. Encontrar la aproximaci´ on lineal est´andar y estimar los valores de una funci´on alrededor de un punto dado. 7. Utilizar la notaci´ on de Leibniz para calcular derivadas. 8. Estimar el cambio de una funci´on derivable alrededor de un punto dado, utilizando la aproximaci´ on diferencial. 9. Determinar los puntos cr´ıticos de una funci´on. 10. Determinar gr´ afica y anal´ıticamente los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de una funci´ on en un intervalo cerrado finito dado.
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Actividades y tarea 1. Revisa el material de las tres unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜ nalan los indicadores de evaluaci´ on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado muy claro. ¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidad los temas que no hayas entendido bien en lo que va del curso y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´ on que obtengas en esta unidad valdr´ a el 25 % de tu calificaci´ on final. 2. Para presentar tu primer examen integrador debes entregar un ensayo en el que enuncies las leyes del movimiento de Newton y expliques porqu´e son importantes las derivadas en la formulaci´ on matem´ atica de las dos primeras. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. No olvides que copiar textualmente de tu fuente de informaci´ on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 4. 4. Si reciclas dos veces tu primer examen integrador, para presentarlo por tercera vez es indispensable que entregues la siguiente tarea correctamente resuelta.
Tarea de la unidad 4 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Mientras Jorge camina por un sendero recto a 2 m/seg lo enfoca un reflector que se encuentra en el piso, a 10 m del sendero. ¿Con qu´e rapidez gira el reflector 5 segundos despu´es de que Jorge pas´ o por el punto m´as cercano al reflector? 2. Calcula la primera y la segunda derivadas de las siguientes funciones: (a)
y = (x3 − 5x2 + 3x − 1)2 ,
(b) y = x2 sen2 x;
(c) y =
tan θ2 . sec θ2 − 1
3. Esboza la gr´ afica de y = sen x + cos x y determina gr´afica y anal´ıticamente los puntos en los que la tangente a la gr´ afica es horizontal. 4. Encuentra la ecuaci´ on de las rectas tangente y normal a cada una de las gr´aficas de las siguientes funciones en los puntos dados: p x+1 y= 2 , (0, 1/2). y = 3x2 + 1, (1, 2); x + 2x + 2 Esboza la gr´ afica de cada una de estas funciones, conjuntamente con las rectas tangente y normal en los puntos dados. 5. Si la posici´ on de una part´ıcula en el eje y est´a dada por y = sen t + cos t, encuentra: Su posici´ on, velocidad y aceleraci´on en los instantes t = 0, t = π/4 y t = π. Los instantes en los que la velocidad vale cero. Los instantes en los que la aceleraci´on es nula. 6. Utiliza derivaci´ on impl´ıcita para calcular y 0 si (a)
x3 + xy 2 = y/x,
(b) 22
√
x − y = x2 y.
7. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos dados: (a) y 3 + xy 2 − x2 y = 1, (1, 1);
(b) sen y + x cos y = 3y, (0, 0).
8. La posici´ on y(t) de una part´ıcula est´a dada impl´ıcitamente por 2 + (t − y)2 = t2 − y 2 . Encuentra su velocidad en t = 2 si se sabe que y(2) = 1. 9. Utiliza aproximaciones lineales para obtener, sin calculadora, un valor aproximado de √ 66; (b) (9)2/3 . (a) ¿En cu´ antos decimales coinciden las aproximaciones con los resultados que se obtienen directamente de tu calculadora? 10. Determina los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de las siguientes funciones e indica los puntos en donde se alcanzan: √ y = x4 − 2x3 , −2 ≤ x ≤ 7; y = 3x + 2 sen x − 4 ≤ x ≤ 3. Usa esta informaci´ on para esbozar las gr´aficas.
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Unidad 5
Monoton´ıa, concavidad y trazado de gr´ aficas Objetivo Dada una funci´ on, determinar su dominio, sus ceros, sus puntos cr´ıticos, sus puntos de inflexi´ on, sus intervalos de monoton´ıa, sus intervalos de concavidad y usar esta informaci´ on para esbozar su gr´ afica.
Contenido 1. El teorema del valor medio. 2. Funciones crecientes y funciones decrecientes. 3. Criterio de la primera derivada para extremos locales. 4. Puntos de inflexi´ on. 5. Concavidad y trazado de gr´aficas. 6. Criterio de la segunda derivada para extremos locales.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Usar el teorema del valor medio para argumentar porqu´e la diferencia de dos funciones que tienen la misma derivada en un intervalo debe ser una constante. 2. Utilizar el teorema del valor medio para acotar el n´ umero de ceros de una funci´on mon´otona. 3. Encontrar los puntos cr´ıticos de una funci´on y usar el criterio de la primera derivada para clasificarlos. 4. Determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, mediante el signo de su primera derivada. 5. Determinar los valores m´ aximos y m´ınimos locales y absolutos de una funci´on en un intervalo dado. 6. Encontrar los puntos cr´ıticos de una funci´on y usar el criterio de la segunda derivada para clasificarlos. 7. Determinar los puntos de inflexi´on de una funci´on mediante el cambio de signo de la segunda derivada. 24
8. Determinar los intervalos de concavidad de una funci´on, mediante el signo de su segunda derivada. 9. Dada una funci´ on, determinar su dominio, sus ceros, sus puntos cr´ıticos, sus puntos de inflexi´ on, sus intervalos de positividad, sus intervalos de monoton´ıa, sus intervalos de concavidad, sus as´ıntotas horizontales y verticales y usar esta informaci´on para esbozar su gr´ afica.
Actividades 1. Estudia las secciones 4.2, 4.3 y 4.4 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 5, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Procura aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 5.
Tarea de la unidad 5 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Usa derivadas para verificar que, dos a dos, las siguientes funciones difieren u ´nicamente por una constante: (a) f (x) = sen2 x,
1 (b) g(x) = − cos(2x), 2
(c) h(x) = − cos2 x.
2. Determina el n´ umero de ra´ıces que tiene cada una de las siguientes ecuaciones en los intervalos dados: x (a) 2x3 + 3x2 − 12x + 6 = 0, −2 ≤ x ≤ 2; (b) x + sen = 8, x ∈ R. 3 3. Determina la posici´ on s(t) de un cuerpo que se desplaza en l´ınea recta, cuya velocidad v = ds/dt y posici´ on inicial s(0) est´an dadas como sigue: (b) v = 4t − 5 sen(2t), s(0) = 3.
(a) v = 3t + 1, s(0) = 1;
4. Un tanque en forma de cono invertido de 2 m de radio y 3 m de altura est´a lleno de agua. Demuestra que si el agua se desaloja a 40 litros por segundo, entonces t segundos despu´es de iniciar el vaciado, la altura h(t) del nivel del agua est´a dada (en metros) por
t h(t) = 3 1 − 100π
1/3 .
5. Encuentra los intervalos de monoton´ıa y determina y clasifica los puntos cr´ıticos de f si: (a) f 0 (x) = x(x − 2);
(b) f 0 (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 1);
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(c) f 0 (x) = x2 − 2x + 1.
6. Encuentra los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones y usa el criterio de la primera derivada (o el de la segunda derivada) para clasificarlos: (a) f (x) = x3 − 4x;
(b) f (x) =
x2
x+2 . + 4x + 5
7. Encuentra el valor m´ınimo de la funci´on 1 x
f (x) = x + en el intervalo (0, ∞).
8. Encuentra los intervalos de concavidad y determina los puntos de inflexi´on de f si: (a) f 00 (x) = x(x − 2);
(b) f 00 (x) = (x − 1)(x − 2)(x + 1);
(c) f 00 (x) = 4x2 + 4x + 1.
9. Determina el dominio, el rango, los intervalos de monoton´ıa, los puntos cr´ıticos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones: (a) f (x) = x4 − 3x2 ;
(b) f (x) =
4x . +1
4x2
Utiliza esta informaci´ on para esbozar las gr´aficas. 10. Encuentra los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones: (a) f (x) = x4 ;
(b) f (x) = x|x|;
(c) f (x) = 2 − (x − 2)1/3 .
√ 11. Dada la funci´ on y = x2 1 − x2 : a) Encuentra su dominio. b) Determina su paridad. c) Encuentra sus ceros y sus intervalos de positividad. d ) Determina sus puntos cr´ıticos y sus intervalos de monoton´ıa. e) Determina sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad. f ) Encuentra las ecuaciones de sus as´ıntotas. g) Usa la informaci´ on anterior para esbozar su gr´afica.
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 4.2: 2, 5, 8, 11, 14, 19, 21, 23, 26, 31, 34, 38, 41, 44, 50 y 52. Secci´ on 4.3: 3, 6, 9,..., 51. Secci´ on 4.4: 2, 5, 8,..., 83.
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Unidad 6
Optimizaci´ on aplicada Objetivo Utilizar derivadas para resolver problemas aplicados de m´ aximos y m´ınimos.
Contenido 1. Problemas de optimizaci´ on aplicada.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Utilizar la derivada para resolver problemas de optimizaci´on.
Actividades 1. Estudia la secci´ on 4.5 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 6, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Procura aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 6.
Tarea de la unidad 6 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Encuentra la m´ınima distancia del punto (−2, 1) a la recta x + y = 2. 2. Se tienen 100 m de cerca para construir un corral rectangular con tres divisiones paralelas a uno de sus lados. ¿Cu´ anto debe valer el largo y el ancho del corral para que su ´area sea m´ axima?
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3. Determina las dimensiones que debe tener una lata cil´ındrica, con tapa, de 1 dm3 de volumen, que utilice la menor cantidad de aluminio para su construcci´on. 4. Se desea minimizar un cartel rectangular cuya ´area de impresi´on es de 300 cm2 , con m´ argenes superior e inferior de 10 cm y m´argenes laterales de 6 cm cada uno. Encuentra las dimensiones que debe tener el cartel que use la menor cantidad de papel. 5. Encuentra las dimensiones del cilindro de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera de 1 m de radio. 6. Encuentra las dimensiones del cono de menor volumen que circunscribe a un cilindro de radio 5 y altura 9. Se supone que las bases del cono y del cilindro son coplanares y tienen el mismo centro. 7. Se quiere dise˜ nar un recipiente cil´ındrico con tapa de 1 litro de volumen. Si el m3 de material para la tapa y la base cuesta el doble que el de los lados, ¿cu´ales son el radio y la altura del recipiente m´ as econ´omico? 8. Se desea construir un cometa pegando las bases de dos tri´angulos is´osceles, cada uno de base 2x. Si los lados restantes del primer tri´angulo deben medir 30 cm y los del segundo de 40, ¿cu´ anto debe valer x para que el ´area del cometa sea m´axima. 9. Se quiere dise˜ nar una caja rectangular de base cuadrada de 1 m3 de volumen. Si el m2 de material para la tapa vale 20 pesos, el de la base 50 y el de los lados 30, determina las dimensiones de la caja m´ as econ´omica. 10. Juan se encuentra en un punto A de la orilla de un lago circular de 1 km de radio y desea ir al punto B, opuesto a A en el otro lado del lago. Si Juan dispone de un bote que navega a 3 km/h y camina a raz´ on de 4 km/h. Determina el tiempo que Juan debe caminar para llegar a B en el menor tiempo posible.
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 4.5: 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20 y 22.
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Unidad 7
Segundo examen integrador Objetivo Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras seis unidades del curso.
Contenido El contenido de esta unidad es el de las seis unidades anteriores.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Utilizar el teorema del valor medio para acotar el n´ umero de ceros de una funci´on mon´otona. 2. Usar el teorema del valor medio para argumentar porqu´e la diferencia de dos funciones que tienen la misma derivada en un intervalo debe ser una constante. 3. Encontrar los puntos cr´ıticos de una funci´on y usar el criterio de la primera derivada para clasificarlos. 4. Encontrar los puntos cr´ıticos de una funci´on y usar el criterio de la segunda derivada para clasificarlos. 5. Determinar los intervalos de monoton´ıa de una funci´on, mediante el signo de su primera derivada. 6. Determinar los intervalos de concavidad de una funci´on, mediante el signo de su segunda derivada. 7. Determinar los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de una funci´on en un intervalo finito dado. 8. Determinar los valores m´ aximos y m´ınimos locales y absolutos de una funci´on en un intervalo dado. 9. Dada una funci´ on, determinar su dominio, sus ceros, sus puntos cr´ıticos, sus puntos de inflexi´ on, sus intervalos de positividad, sus intervalos de monoton´ıa, sus intervalos de concavidad, sus as´ıntotas horizontales y verticales y usar esta informaci´on para esbozar su gr´ afica. 10. Aplicar la derivada para resolver problemas de optimizaci´on.
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Actividades y tarea 1. Revisa el material de las seis unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜ nalan los indicadores de evaluaci´ on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado muy claro. ¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidad los temas que no hayas entendido bien en lo que va del curso y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! Ten en cuenta que la calificaci´ on que obtengas en esta unidad valdr´ a el 35 % de tu calificaci´ on final. 2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo acerca del m´etodo de Pierre Fermat (1601-1665) para localizar los m´aximos y m´ınimos locales de una funci´ on. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. Recuerda que copiar textualmente de tu fuente de informaci´ on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 7. 4. Si reciclas dos veces tu segundo examen integrador, para presentarlo por tercera vez debes entregar la siguiente tarea correctamente resuelta.
Tarea de la unidad 7 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Encuentre todas las rectas que son tangentes simult´aneamente a las par´abolas y = −x2
y
y = x2 + 1.
2. En un despeje de porter´ıa, una pelota sale disparada con una velocidad inicial v = (v0 , v1 ). ¿Qu´e relaci´ on debe haber entre v0 y v1 para que el ´area debajo de la par´abola seguida por la pelota sea la mayor posible? Nota. El ´area debajo del arco de la par´abola es 2/3 del area del rect´ ´ angulo que la circunscribe. 3. Determina los m´ aximos y m´ınimos locales, los intervalos de monoton´ıa, los puntos de inflexi´ on, los intervalos de concavidad y esboza la gr´afica de y = f (x) si se sabe que f (0) = 2 y y 0 = −(x − 2)(x + 3). 4. Calcula y 0 para cada una de las siguientes funciones: (a) y =
p 4
x2 + x cos2 x,
(b) y =
x2 − tan(3x) √ , x2 − 2x
(b) sen(x/y) + cos(y/x) = yx.
5. Determina el dominio, el rango, los intervalos de monoton´ıa, los puntos cr´ıticos, los m´aximos y m´ınimos locales, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexi´on de las siguientes funciones: p (a) f (x) = x4 − 4x3 ; (b) f (x) = x 4 − x2 . Utiliza esta informaci´ on para esbozar las gr´aficas. 6. Dada la funci´ on y =
x2
x−1 : − 2x + 2 30
a) Encuentra su dominio. b) Determina su paridad. c) Encuentra sus ceros y sus intervalos de positividad. d ) Determina sus puntos cr´ıticos y sus intervalos de monoton´ıa. e) Determina sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad. f ) Encuentra las ecuaciones de sus as´ıntotas. g) Usa la informaci´ on anterior para esbozar su gr´afica. 7. Determina los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de y = cos θ +
θ en el intervalo [0, π/2]. 2
8. Determine el punto de la par´abola y = (x − 1)2 que est´a m´as cerca del origen. 9. Una ventana tiene la forma de un rect´angulo rematada en su parte superior por un semic´ırculo. Si el per´ımetro de la ventana es de 4 m, encuentre las dimensiones de la ventana de mayor ´ area. 10. La esquina superior izquierda de una hoja de papel rectangular, de 20 cm de ancho por 30 de largo, se dobla hasta hacerla llegar al borde derecho, como en la Figura 7.1. ¿Para qu´e valor de x el pent´ agono ABCDE tendr´a ´area m´axima? Sugerencia: Note que el xy pent´ agono tiene ´ area A = 600 − . Enseguida establezca la relaci´on 2 p p y = x2 − (20 − x)2 + y 2 − 400. Luego despeje y de esta expresi´on y obtenga √ 20x . y=√ 2x − 20 A
20-x
B
x
y
E D
C
Figura 7.1: Esquina superior doblada
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Unidad 8
Funciones logar´ıtmicas y exponenciales Objetivo Usar los m´etodos del c´ alculo diferencial para obtener y analizar las gr´aficas de las funciones exponencial y logaritmo natural.
Contenido 1. Funciones inversas y sus derivadas. 2. Logaritmos naturales. 3. Derivadas logar´ıtmicas. 4. La funci´ on exponencial.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Esbozar la gr´ afica de una funci´on invertible a partir de la gr´afica de su inversa. 2. Decidir gr´ afica y algebraicamente si una funci´on es inyectiva y encontrar su inversa. 3. Determinar gr´ afica y algebraicamente el dominio y el rango de una funci´on y de su inversa. 4. Obtener la derivada de una funci´on invertible a partir de la derivada de su inversa. 5. Definir las funciones logaritmo natural y exponencial y establecer sus propiedades fundamentales. 6. Calcular derivadas de funciones exponenciales y logar´ıtmicas. 7. Utilizar las propiedades b´ asicas de las funciones exponenciales y logar´ıtmicas para simplificar expresiones o resolver ecuaciones que involucren este tipo de funciones. 8. Utilizar el m´etodo de diferenciaci´on logar´ıtmica para calcular derivadas. 9. Dada una funci´ on exponencial o logar´ıtmica, determinar su dominio, sus ceros, sus intervalos de positividad, sus as´ıntotas, sus intervalos de monoton´ıa, sus extremos locales, sus puntos de inflexi´ on y sus intervalos de concavidad y usar esta informaci´on para esbozar su gr´ afica.
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Actividades 1. Estudia las secciones 7.1, 7.2 y 7.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 8, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 8.
Tarea de la unidad 8 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. A partir de las gr´ aficas de las siguientes funciones, esboza las gr´aficas de las correspondientes funciones inversas: (a) f (x) = 2 − x2 , x ≥ 0;
(b) f (x) = x2 − 2x − 1, x ≤ 1.
2. Decide si las siguientes funciones son inyectivas y en caso afirmativo encuentra su inversa: (a) f (x) = x2 − 2x, x ≤ 2;
(b) f (x) =
2x + 1 , x 6= 3. x−3
3. Determina gr´ afica y algebraicamente los dominios y rangos de las siguientes funciones y los de sus correspondientes inversas: √ (a) f (x) = 2 − x, x ≤ 2; (b) f (x) = 4x − x2 , x ≤ 2. 0 4. Si f (x) = x3 + 5x + 1, encuentra f −1 (−5). Nota que f (−1) = −5. 5. Utiliza las propiedades de los logaritmos para simplificar: (a) ln(8/25 );
(b) 3log3 5 ;
√ (c) ln(22/5 2).
6. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones: (a) y = x2 ln x;
(b) y = x3 ex + ln(ex ln x);
(c) y =
1 + ex . 1 − e−x
7. Encuentra y 0 y y 00 para cada una de las siguientes funciones: 2
(a) y = e−x ;
(b) y = x3 esen x ;
(c) y = ex ln x cos(ln x).
8. Simplifica las siguientes expresiones: ln(y 3 ) − 2 ln y;
ln(xx e2 ln x );
33
2
eln(x+1)
−2 ln x
.
9. Utiliza diferenciaci´ on logar´ıtmica para derivar las siguientes funciones: s 5 t x ln(x + 1)e(x+2) ; (b) y = (a) y = 2 ; (c) y = xx ex cos x . t +1 x2 + 1 10. Encuentra y 0 para cada una de las siguientes funciones: 2
(a) y = x−x ;
(b) y = xsen x ;
(c) y = (ln x)ln x .
11. Para cada una de las funciones (a)
y = x2 e−2x ,
(b) y = x ln(x2 ),
determina su dominio, sus ceros, sus intervalos de positividad, sus as´ıntotas, sus intervalos de monoton´ıa, sus extremos locales, sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad y usa esa informaci´ on para esbozar su gr´afica. 12. Resuelve para x en las siguientes ecuaciones: ln(x + 1) + ln x = 4;
2x ln x + x = 0;
ex − e−x + 1 = 0.
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 7.1: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 23, 25, 31, 32 50, 53 y 54. Secci´ on 7.2: 1, 3, 5, 11, 17, 23, 29, 55, 59, 63 y 67. Secci´ on 7.3: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 19, 53, 57, 61, 71, 82, 111, 114 y 115.
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Unidad 9
Trigonom´ etricas inversas. Regla de L’Hˆ opital y polinomios de Taylor Objetivo Obtener y analizar las gr´ aficas de las funciones trigonom´etricas inversas, calcular l´ımites de formas indeterminadas y aplicar el concepto de aproximaci´on de una funci´on mediante polinomios de Taylor.
Contenido 1. Funciones trigonom´etricas inversas. 2. Formas indeterminadas y la regla de L’Hˆopital. 3. El Teorema de Taylor.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Utilizar tri´ angulos o el c´ırculo trigonom´etrico para calcular valores importantes de las funciones trigonom´etricas inversas. 2. Calcular derivadas de funciones trigonom´etricas inversas. 3. Utilizar las propiedades b´ asicas de las funciones trigonom´etricas inversas para simplificar expresiones que involucren este tipo de funciones. 4. Utilizar las propiedades b´ asicas de las funciones trigonom´etricas inversas para resolver ecuaciones que involucren este tipo de funciones. 5. Esbozar las gr´ aficas de las funciones trigonom´etricas inversas. 6. Utilizar la regla de L’Hˆ opital para calcular l´ımites de formas indeterminadas. 7. Encontrar e interpretar gr´ aficamente la aproximaci´on de los polinomios de Taylor de grados uno y dos (aproximaci´ on lineal y cuadr´atica) de una funci´on en un punto dado. 8. Encontrar el polinomio de Taylor de grado n de una funci´on en un punto dado. 9. Utilizar polinomios de Taylor para obtener aproximaciones de los valores de una funci´ on alrededor de un punto dado.
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Actividades 1. Estudia la secciones 7.5, 7.6 y la parte de polinomios de Taylor de la Secci´on 10.8 de la Decimosegunda edici´ on del Thomas y el material sobre polinomios de Taylor que se te entregar´ a en el SAI. Resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´ on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 9, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te sugerimos aprobar esta unidad antes de finalizar la semana 9.
Tarea de la unidad 9 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Por medio de un tri´ angulo calcula: √ !! 2 ; (a) sen cos−1 2
(b) tan sen
−1
−1 2
.
2. Encuentra y 0 en cada una de las siguientes ecuaciones: (a) y = arc cos(x2 ) − 5 ln(sen−1 x);
(b) y = 2x3 ln(arctan x2 );
3. Simplifica
√ x −1 . (b) tan sen x+1
(a) sen (arctan(x/2)) ; 4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
e2 tan x = 1 + etan x .
2 + 3 sen x = 1 + sen x; 5. Esboza las gr´ aficas de las siguientes funciones: y = −2 arc cos(x/3);
y = 2 − arctan(2x).
6. Utiliza la regla de L’Hˆ opital para encontrar los siguientes l´ımites: (a) l´ım
x→0
sen x ; x
(b) l´ım
x→0
1 − cos x ; x2
(c) l´ım
t→0
t − sen t . t3
7. Usa la regla de L’Hˆ opital para encontrar los siguientes l´ımites: x10 ; x→∞ ex
(a) l´ım
2
e−1/x ; x→0 x9
ln x ; x→∞ x
(b) l´ım
(c) l´ım
t2 ln t . t→∞ et
(d) l´ım
8. Encuentra la linealizaci´ on de f (x) en los puntos dados: (a) f (x) = x2 − 4x,
x = 1;
(b) f (x) = tan x,
x=
π . 4
Enseguida esboza la gr´ afica de cada una de las funciones dadas, conjuntamente con las correspondientes linealizaciones en el punto dado. 36
9. Encuentra el polinomio de Taylor de grado 3 en a = 0 de las siguientes funciones: f (x) = (1 + x)3 ;
(a)
(b) f (x) = √
1 ; 1+x
(c) f (x) = arctan(2x).
10. Encuentra el polinomio de Taylor de grado n en a = 0 de las siguientes funciones y estime el error si n = 5 y |x| ≤ 1/2: (a)
f (x) = sen x;
(b) f (x) = ex ;
(c) f (x) =
1 . 1−x
11. Usa los resultados del ejercicio anterior para encontrar el polinomio de Taylor de grado n en a = 1 de las siguientes funciones: (a)
f (x) = ex+2 ;
(b) f (x) =
1 ; 4−x
(c) f (x) = sen(2 − 2x).
12. Utiliza aproximaciones de Taylor de grado 3 para obtener, sin calculadora, un valor aproximado de √ 17; (b) (28)2/3 ; (a) (c) tan(63◦ ). ¿En cu´ antos decimales coinciden las aproximaciones con los resultados que se obtienen directamente de tu calculadora?
Ejercicios complementarios Si necesitas pr´ actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´ on: Secci´ on 7.5: 1, 6, 11, 16, 21,..., 66, 67 y 74. Secci´ on 7.6: 3, 6, 9, 12, ..., 42. Secci´ on 10.8: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
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Unidad 10
Evaluaci´ on global Objetivo Reafirmar, unificar e integrar todos los temas, conceptos y m´etodos estudiados en el curso.
Contenido Todos los temas del curso.
Indicadores de evaluaci´ on 1. Calcular derivadas de funciones definidas por sumas, productos, cocientes, potencias y composiciones, as´ı como de funciones impl´ıcitas. 2. Calcular derivadas de funciones trascendentes y sus inversas. 3. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´afica de una funci´on en uno de sus puntos. 4. Determinar los intervalos de derivabilidad de una funci´on. 5. Dada la posici´ on de un objeto que se mueve en l´ınea recta, determinar su velocidad y aceleraci´ on instant´ aneas. 6. Resolver problemas de tasas relacionadas. 7. Encontrar los puntos cr´ıticos y determinar los valores extremos absolutos de una funci´ on en un intervalo cerrado finito. 8. Utilizar la derivada para resolver problemas de optimizaci´on aplicada. 9. Decidir si una funci´ on es inyectiva y encontrar su inversa, as´ı como el dominio, el rango, la derivada y la gr´ afica de la inversa. 10. Simplificar expresiones que involucren funciones trascendentes y sus inversas. 11. Resolver ecuaciones que involucren funciones trascendentes y sus inversas. 12. Usar la regla de L’ Hˆ opital para calcular l´ımites de formas indeterminadas. 13. Determinar el dominio, los ceros, los intervalos de positividad, las as´ıntotas, los intervalos de monoton´ıa, los extremos locales, los puntos de inflexi´on y los intervalos de concavidad de una funci´ on dada (algebraica o trascendente) y usar esa informaci´on para esbozar su gr´ afica.
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14. Encontrar la aproximaci´ on lineal est´andar y estimar los valores de una funci´on alrededor de un punto dado. 15. Utilizar polinomios de Taylor para obtener aproximaciones de los valores de una funci´ on alrededor de un punto dado.
Actividades y tarea 1. Revisa el material de las tres unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜ nalan los indicadores de evaluaci´ on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado muy claro. ¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidad los temas que no hayas entendido bien en lo que va del curso y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! No olvides que la calificaci´ on que obtengas en esta unidad valdr´ a el 40 % de tu calificaci´ on final. 2. Entrega la tarea de la unidad 10, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Entrega un ensayo en el que expliques como defini´o Leonhard Euler (1707-1783) la funci´ on exponencial y c´ omo la relacion´o con las funciones trigonom´etricas. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. Recuerda que copiar textualmente de tu fuente de informaci´ on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 4. Procura aprobar esta unidad antes del u ´ltimo d´ıa de ex´amenes.
Tarea de la unidad 10 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Calcula y 0 para cada una de las siguientes funciones: p (b) y = log2 (arctan(ecos x )), (a) y = 5 (x2 + 1)3 xsen x , 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 2 2 2 (a) 5x − 3x +1 = 2 5x −1 − 3x −2 ,
(b)
(b) y x + xy = xy.
log2 (9x−1 + 7) = 2 log2 (3x−1 + 1).
3. ¿Para qu´e valores de p ≥ 0 son tangentes en un punto del primer cuadrante las gr´aficas de y = xp y y = ex ? √ 4. Determina los valores m´ aximo y m´ınimo absolutos de y = arctan x − ln( x) en el intervalo [e−1 , e]. 5. Se desea fabricar una tanque de gas estacionario de 1 m3 de volumen, que tenga la forma de un cilindro de altura h y radio r, rematado en sus extremos con dos hemisferios de radio r. Determina las dimensiones h y r del tanque que requiera la m´ınima cantidad de l´ amina de acero para su construcci´on. 6. Encuentre el rect´ angulo de ´area m´axima que puede circunscribirse en un rect´angulo de 2 m de ancho y 3 m de largo. 39
7. Por la banda derecha de un campo de futb´ol se desplaza un futbolista prepar´andose para tirar a gol. ¿A qu´e distancia de la l´ınea final debe realizar el tiro si se supone que lo har´ a justo cuando el ´ angulo con el que visualiza la porter´ıa (de poste a poste) es m´aximo. El campo de futb´ ol es de 110 por 90 y de poste a poste la porter´ıa mide 7 m. 8. Dada la funci´ on y = (x − 1)4 − 4x2 + 8x − 4: a) Encuentra su dominio. b) Determina su paridad. c) Encuentra sus ceros y sus intervalos de positividad. d ) Determina sus puntos cr´ıticos y sus intervalos de monoton´ıa. e) Determina sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad. f ) Encuentra las ecuaciones de sus as´ıntotas. g) Usa la informaci´ on anterior para esbozar su gr´afica. 9. Dada la funci´ on y = (x + 1)2 e−3x : a) Encuentra su dominio. b) Determina su paridad. c) Encuentra sus ceros y sus intervalos de positividad. d ) Determina sus puntos cr´ıticos y sus intervalos de monoton´ıa. e) Determina sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad. f ) Encuentra las ecuaciones de sus as´ıntotas. g) Usa la informaci´ on anterior para esbozar su gr´afica. 10. Dada la funci´ on y = (ln x)2 /x: a) Encuentra su dominio. b) Determina su paridad. c) Encuentra sus ceros y sus intervalos de positividad. d ) Determina sus puntos cr´ıticos y sus intervalos de monoton´ıa. e) Determina sus puntos de inflexi´on y sus intervalos de concavidad. f ) Encuentra las ecuaciones de sus as´ıntotas. g) Usa la informaci´ on anterior para esbozar su gr´afica. 11. Utilice un polinomio de Taylor de grado 7 alrededor de a = 0 para obtener un valor aproximado de ln(1/2). Obtenga una estimaci´on del error.
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Formulario de c´ alculo CSAI81 Per´ımetros, ´ areas y vol´ umenes 1. Per´ımetro Rect´ angulo de base b y altura a: P = 2a + 2b. Pol´ıgono regular de n lados de longitud l: P = nl. C´ırculo de radio r: P = 2πr, con π = 3,14159...
´ 2. Area Tri´ angulo de base b y altura a: A=
ba . 2
Tri´ angulo de lados a, b y c, F´ormula de Her´on de Alejandr´ıa: p A = S(S − a)(S − b)(S − c). S = (a + b + c)/2 se llama semiper´ımetro del tri´angulo. Rect´ angulo de base b y altura a: A = ab. Trapecio de base mayor B, base menor b y altura a: A=
(B + b)a . 2
Pol´ıgono regular de n lados de longitud l y apotema de longitud a: A=
Pa nla = . 2 2
El apotema de un pol´ıgono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. C´ırculo de radio r: A = πr2 . Elipse de semiejes a y b: A = πab.
41
Esfera de radio r: A = 4πr2 . ´ Area lateral de un cono de radio r y altura a: p A = πr r2 + a2 . 3. Volumen Caja de altura a y base rectangular de lados b y c: V = abc. Esfera de radio r:
4 3 πr . 3
V = Cilindro de radio r y altura a:
V = πr2 a. Cono de radio r y altura a: V =
1 2 πr a. 3
Trigonometr´ıa Teorema de Pit´ agoras. En un tri´ angulo rect´ angulo de catetos a y b e hipotenusa h (Figura 1) se cumple la relaci´ on h2 = a2 + b2 . Rec´ıprocamente, si en un tri´angulo de lados a, b y h se cumple la relaci´on anterior, entonces es un tri´ angulo rect´ angulo de catetos a y b e hipotenusa h. Funciones trigonom´etricas del ´angulo θ (Figura 1): sen θ =
a , h
cos θ =
h
b , h
tan θ =
a θ b
Figura 1: Tri´angulo rect´angulo
42
a . b
Las funciones trigonom´etricas de los ´angulos de 45◦ , 30◦ y 60◦ se calculan f´acilmente usando los tri´ angulos de la Figura 2.
√
2
1
2
45◦
60◦
◦
30 1
√
1
3
Figura 2: Tri´angulos especiales Funciones trigonom´etricas del ´angulo t (Figura 3): sen t = y,
cos t = x,
tan t =
y . x
y
(x, y) t (1, 0) x
t radianes
Figura 3: C´ırculo trigonom´etrico Conversi´ on de grados a radianes. Si la medida de un ´angulo en grados es A y en radianes θ, entonces, π θ = A. 180 Longitud l de un arco de θ radianes de un c´ırculo de radio r: l = θr. ´ Area de un sector de θ radianes de un c´ırculo de radio r: 1 A = θr2 . 2 Identidades trigonom´etricas b´asicas: tan θ =
sen θ , cos θ
cot θ =
cos θ , sen θ 43
sec θ =
1 cos θ
csc θ =
1 . sen θ
Identidades pitag´ oricas: sen2 θ + cos2 θ = 1,
1 + tan2 θ = sec2 θ,
1 + cot2 θ = csc2 θ.
F´ ormulas para la suma: sen(A ± B) = sen A cos B ± sen B cos A,
cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sen A sen B.
F´ ormulas para el ´ angulo doble: sen(2u) = 2 sen u cos u,
cos 2u = cos2 u − sen2 u.
F´ ormulas para el ´ angulo medio: sen2 u =
1 − cos 2u , 2
cos2 u =
1 + cos 2u . 2
Ley de los senos. En un tri´angulo de lados a, b y c, cuyos ´angulos opuestos respectivos son A, B y C, se satisface la relaci´on sen B sen C sen A = = . a b c Ley de los cosenos. En un tri´angulo de lados a, b y c, en el que C es el ´angulo opuesto a c, se satisface la relaci´ on c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. Otras f´ ormulas: tan(A ± B) =
tan A ± tan B 1 ∓ tan A tan B
cos(−u) = cos u tan(−u) = − tan u
sen(−u) = − sen u
−|θ| ≤ sen θ ≤ |θ|.
Propiedades de logaritmos y exponenciales 1. ln(ex ) = x, x ∈ R.
6. ln(xy) = ln x + ln y, x > 0, y > 0.
2. eln x = x, x > 0.
x 7. ln = ln x − ln y, x > 0, y > 0. y
y
3. ln(x ) = y ln x, x > 0, y ∈ R. 4. ax = ex ln a , a > 0. 5. loga x =
ln x , x > 0, a > 0, a 6= 1. ln a
8. loga x =
logb x , a > 0, b 6= 1, b > 0. logb a
Reglas de derivaci´ on Notaci´ on: u0 =
du dx
Linealidad (cu)0 = cu0 ,
(u ± v)0 = u0 ± v 0 .
Regla del producto (uv)0 = uv 0 + vu0 . 44
Regla del cociente u 0 v
=
vu0 − uv 0 . v2
Regla de la cadena dy dy du = . dx du dx Diferenciaci´ on logar´ıtmica (ln µ)0 =
µ0 . µ
Otras f´ ormulas 11. (sec u)0 = (sec u tan u)u0
1. Si c es una constante, (c)0 = 0 2. (|u|)0 = n 0
u 0 (u ) |u|
12. (csc u)0 = −(csc u cot u)u0 13. (arc sen u)0 = √
n−1 0
3. (u ) = nu
u
4. (au )0 = (ln a)au u0
14. (arc cos u)0 = − √
5. (eu )0 = eu u0
15. (arctan u)0 =
u0 6. (loga u)0 = (ln a)u 7. (sen u) = (cos u)u
8. (cos u)0 = −(sen u)u0
17. (arcsec u)0 =
0
9. (tan u)0 = (sec2 u)u0 10. (cot u) = −(csc u)u
u0 1 + u2
u0 √ |u| u2 − 1
18. (arccsc u)0 = −
0
2
u0 1 − u2
u0 1 + u2
16. (arccot u)0 = −
0
0
u0 1 − u2
u0 √ |u| u2 − 1
F´ ormulas b´ asicas de integraci´ on Linealidad Z Z kf (u)du = k f (u)du, k ∈ R;
Z
(f (u) ± g(u)) du =
F´ ormula de integraci´ on por partes Z Z f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx
Z o bien
Z
f (u)du ±
udv = uv −
Z g(u)du.
Z vdu.
Regla de sustituci´ on o de cambio de variables. Si u = g(x), entonces Z
0
f (g(x))g (x)dx =
Z
Z f (u)du
o
0
Z
g(b)
f (g(x))g (x)dx = a
45
b
f (u)du. g(a)
Otras f´ ormulas: Z 1. du = u + C
Z 10. Z
Z
un+1 u du = + C, n 6= −1 n+1
Z
1 du = ln |u| + C, u 6= 0 u
12.
Z
au au du = + C, a > 0, a 6= 1 ln a
13.
eu du = eu + C
14.
2. 3. 4. Z 5.
11.
n
Z Z Z Z
Z 6.
15.
sen u du = − cos u + C
Z 16.
Z 7.
cos u du = sen u + C
sec u du = ln | sec u + tan u| + C sec2 u du = tan u + C csc u du = − ln | csc u + cot u| + C csc2 u du = − cot u + C 1 u du = arctan + C, a 6= 0 a2 + u2 a a csc u cot u du = − csc u + C √
u du = arcsen + C, a 6= 0 2 a −u
a2
Z Z 8.
17.
tan u du = − ln | cos u| + C
Z
= ln | sec u| + C Z 9.
sec u tan u du = sec u + C
18.
cot u du = ln | sen u| + C
46
du √ u u2 − a2 u 1 = arcsec + C, a 6= 0. a a
